集合与实变函数初步.pptVIP

第一章 集合与映射 集合的概念 集合的运算 集合间的映射 集合的基数 集合的拓扑 集合的测度 具有某种确定性质的事物或对象的全体，称之为集合，记为A。 罗素悖论：所有集合放在一起，是否是集合？ 某一个理发师，声称：给所有不给自己理发的人理发，那他的头发怎么办？ 类：其元素是集合的集合，记为 可数集合的性质 任意无穷集合都有可数子集 可数集合的子集至多是可数集合 可数个可数集合的并仍然是可数集合 无穷集合不一定都是可数的，入如（0，1） 二、集合上的拓扑结构 度量空间 直线上的开集、闭集和完备集 拓扑空间 欧式空间的重要定理 三、集合的测度 直线上集合的测度 可测集类就是全体Borel集和全体零测度集合的“可加”集合类 的确存在不可测集合，如商集合[0,1]/Q 在二维以上的欧式空间，也可以作类似的推广，其上的Lebesgue测度理论与直线上的情形很相似。 第二章、L-可测函数和L-微积分理论 二、L-积分 可以通过依次引入下列各函数类的L-积分： 非负简单函数、非负可测函数、有界可测函数、一般可测函数在有界可测集和一般可测集合上的积分 L-积分与R-积分有着几乎完全一样的性质： 单调性、线性、对集合的有限（可数）可加性、积分的绝对连续性等等 两者的区别与联系 改变函数f在零测度集上的定义，其L-积分不变。 积分与极限换序 Fubini定理 三、微分 有趣的问题 严格递增的连续函数是不是处处可导，其导函数一定大于0？其导函数是不是可积，积分等于端点处的函数值之差？ 例如Cantor函数 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 函数空间L^2 [a,b]上平方可积的函数的全体，将几乎处处相等的不同函数视为同一个元素，就得到了一个商集L^2，通过定义距离，正交等概念，可得到一无穷维的欧式空间。 在L^2中建立正规正交基，将函数进行傅里叶展开，通过周期函数的叠加来研究一般函数性质。这是实变函数的重要性所在之一 一、可测函数 条件太强了，在L-积分中，只需要函数F(x)是绝对连 续，就够了 * 映射类型：单射、满射、双射 有了开集的概念，就可以定义闭集、映射的连续 等等概念 *