集合与映射初步.PPTVIP

作业： P17 1.7.8； P26 1（3），4(4),5(4)，9（4） 函数复合而成 ? 它是由以下几个函数复合而成: 例14 解 复合函数分解到 什么时候为止 ？ 以上过程称为 对复合函数的分解 分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止. 是一一对应 (即映射 f 是一一对应), 称 f 的 f 的反函数. 只有在一一对应的前提下才能有反函数. 与 互为反函数. 2。 反函数的定义 例16 反函数的图形 将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f ?1(y) 时， 函数与其反函数的图形相同. 将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f ?1(x) 时， 函数 y = f (x) 与其反函数 y = f ?1(x) 的图形关于 第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称。 反函数的图形 例16 得 由 由 得 由 得 解 综上所述，所求反函数为 故所求反函数为 求分段函数的反函数是： 先求出各段上函数的反函数， 然后综合起来，得出原分段函数的反函数。 增加的. 定理 减少 减少 五、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算 和复合运算而成的函数, 称为初等函数。 例如 都是初等函数. 一般说来, 分段函数不是初等函数. 但有个别分段函数例外，例如 因为它可以改写为初等函数 的形式. 幂指函数 是否为初等函数？ 该幂指函数是一个初等函数. 例18 六、双曲函数反双曲函数 学习双曲函数时,注意与中学学习过的 三角函数进行比较,找出它们之间有关定义 及计算公式的相同处和不同处。 双曲函数 双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 双曲正割 双曲余割 例1 例2 求 的定义域。 将 x 表示为: 函数 y = [ x ] = “整数” 称为取整函数，它是一个分段函数。 例3 “整数” + “正的小数” 或 “零” 想想取整函数的图形是什么样子？ 例4 定义域与对应规则均相同的两个函数相同。 如何判断两个函数是否相同? 4. 判断函数相同 例6 5.函数的图形 称为函数 f ( x ) 的图形。 在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集 是否所有的函数均可绘出几何图形？ 例7 狄利克雷函数就不能作出几何图形. Dirichlet 1805—1859 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才 能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的 杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国 数学界的核心人物之一。 单调性 有界性 奇偶性 周期性 二、函数的基本性质 1.单调性 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为 。 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少, 记为 。 函数的单调性是一个局部性的 性质, 它与所讨论的区间I 有关. 画画图就一目了然. 例9 我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。 2. 有界性 有界性 有上界 有下界 有 界 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x ? I 恒有 A ? f ( x ) ? B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。 函数有界性的定义 y = f ( x ) x x y y A A B B O O y = f ( x ) 函数有界示意图 函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界 你能理解吗? 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 M (可正， 可负)，对一切 x ? I 恒有 y = f ( x ) f ( x )≤ M f ( x )≥m 在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界。 设函数 y = f ( x )在区间 I 上有定义。 若存在实数 m (可正， 可负), 对一切 x ? I 恒有 成立，则称函数 y = f ( x ) y = f ( x ) 函数 y = f ( x ) 有界 f ( x ) 既有上界又有下界. 在区间 I 上: x y A B O 无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区 在区间 I 上有下界，则必有 若函数 间 I 上的下确界，记为 无穷多个上界，所