集合的基本概念和运算初步.PPTVIP

集合的基本概念和运算 集合的基本概念 集合(Set)是不能精确定义的基本概念。 所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。(康托) 直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。 例如： 方程x2－1＝0的实数解集合： 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； … … 集合通常用大写的英文字母来标记。 常见的数的集合 N—自然数集合 Z—整数集合 Q—有理数集合 R—实数集合 C—复数集合 集合的表示方法 表示一个集合的方法主要有两种：列元素法和谓词表示法。 列元素法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。 A＝{a，b，c，…，z} Z＝{0，±1，±2，…} C＝{桌子,灯泡,老虎,自然数} 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。 B＝{x|x∈R∧x2－1＝0} 许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。 集合的元素 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。 例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3} 集合的元素是无序的。 例如：{1，2，3}＝{3，1，2} 元素和集合之间的关系 元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作?。 例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A， b?A，{d}?A。 b和{d}是A的元素的元素。 可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。集合作为结点，它的元素作为其儿子。 子集 定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作 B?A。 包含的符号化表示为  B?A ? ?x(x∈B→x∈A) 隶属和包含的说明 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。（本书的系统中把集合中的元素也看做（同一层次的）集合） 例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}?A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。 集合相等 定义6.2 设A，B为集合，如果 A?B 且 B?A，则称A与B相等，记作A＝B。 相等的符号化表示为： A＝B ? A?B ∧ B?A 如果A与B不相等，则记作A≠B。 真子集 定义6.3 设A，B为集合，如果 B?A 且 B≠A，则称B是A的真子集，记作B?A。 真子集的符号化表示为 B?A ? B?A ∧ B≠A 如果B不是A的真子集，则记作B ? A。 例如：N ? N 空集 定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作?。 空集的符号化表示为： ?＝{x|x≠x}。 例如: {x|x∈R∧x2+1=0} 是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。 空集的性质 推论 空集是唯一的。 证明：假设存在空集?1和?2，由上述定理有 ?1 ? ?2 ， ?2 ? ?1。 根据集合相等的定义，有 ?1＝ ?2。 n元集 含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元子集。 例 A＝{1,2,3}，将A的子集分类： 幂集 一般地说，对于n元集A，它的0元子集有 个，1元子集有 个，…，m元子集有 个，…，n元子集有 个。子集总数为 全集 定义 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。 集合的运算 定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B ，B对A的相对补集A－B分别定义如下： A∪B＝{x|x∈A∨x∈B }  A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } A－B＝{x|x∈A∧x?B } n个集合的并和交 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 上述的并和交可以简记为： 对称差集 定义 设A，B为集合，A与B的对称差集 A?B定义为：A?B＝(A－B)∪(B－A) 对称差运算的另一种定义是A?B＝(A∪B)－(A∩B) 例如: A＝{a，b，c}，B＝{b，d}， 则 A?B＝{a，c，d} 绝对补集 定义 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧x?A} 因为E是全集，x∈E是真命题，所以～A可以定义为： ～A＝{x|x ? A } 例如: E＝{a，b，