静态场的解.pptVIP

当α2=0时，则 当α20 时，令α=jkx(kx为正实数)，则 或 当α20 时，令α=kx，则 或 例 4-7 横截面如图 4-8 所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U0， 求此区域内的电位。 图 4-8 矩形截面导体槽 解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x, y)。 在区域 0ya、0yb内， ▽2φ =0 边界条件为 ① x=0, φ(0, y)=0 ② x=a, φ(a, y)=0 ③ y=0, φ(x, 0)=0 ④ y=b, φ(x, b)=U0 即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1, 2, 3, …)，这样得到X(x)=a1sin(nπx/a)。 由于α2+β2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数， 即 有c2=0, Y(y)=c1sh(nπy/a)，这样我们就得到基本乘积解X(x)Y(y)， 记作 取不同的n值对应的φn并叠加，即 由边界条件④，有φ(x, b)=U0， 即 其中： 左右两边同乘以sin(mπx/a)， 并在区间(0，a)积分，有 因而， n=2, 4, 6, … n=1, 3, 5, … 所以，当n=1, 3, 5, …时， 当n=2, 4, 6, …时， 这样得到待求区域的电位为 例 4-8 如图 4-9 所示，两块半无限大平行导体板的电位为零，与之垂直的底面电位为φ(x, 0)，求此半无限槽中的电位。 其中： 图 4-9 无限长槽的电位 解：和前题类似， 这是一个二维拉普拉斯方程边值问题， φ=φ(x, y)，边界条件为 ① φ(0, y)=0 ② φ(a, y)=0 ③ φ(x, ∞)=0 ④ 为满足边界条件④，取级数 代入边界条件④， 得 运用正弦函数的正交归一性， 得 4.4.2 圆柱坐标系中的分离变量法 当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此时电位φ(r,φ)满足二维拉普拉斯方程： 运用分离变量法解之，令 两个常微分方程： 当n≠0 时，上面两方程的解为 当n=0 时， * 第四章 静 态 场 的 解 第四章 静 态 场 的 解 通常要处理两类静态场问题：一类是已知场源(电荷分布、电流分布)直接计算空间各点场强和位函数，这类问题叫分布型问题；另一类是空间某给定区域的场源分布和该区域边界上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布，这类问题叫做边值型问题。 求解分布型空间电场、磁场可以转化为求解给定边界条件下为函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。故本章主要介绍边值问题的求解。具体一点就是求解拉普拉斯方程。 本章主要内容有： 4.1 边值问题的分类* 4.2 唯一性定理 4.3 镜像法* 4.4 分离变量法* 4.5 复变函数法 4.6 格林函数法 4.7 有限差分法 4.1 边值问题的分类 静态场的计算通常是求场内任一点的电位，一旦电位确定，电场强度和其它物理量都可由电位求得。 在无界空间，如果已知分布电荷的体密度，可以通过积分公式计算任一点的电位；而在有限空间，必须使用所讨论区域边界上的电位的指定值来确定积分常数；此外，当场域中有不同介质时，还要用到电位的边界条件，来确定常数。 边界条件：用来决定常数的条件。 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题。 已知场域边界 上各点电位值 边值问题框图 自然 边界条件 参考点电位 有限值 边值问题 微分方程 边界条件 场域 边界条件 分界面 衔接条件 第一类 边界条件 第二类 边界条件 第三类 边界条件 已知场域边界 上各点电位 的法向导数 一、二类边界条件的线性组合，即 4.3 镜 像 法 镜像法是求解静电边值问题的一种特殊方法，它主要用来求解无限大导体附近的电荷（点电荷/线电荷）产生的场。 例如：实际工程中，水平假设的双导线传输线的电位电场的计算问题。当传输线离地面距离较小时，要计及地面的影响，地面可以看作一个无穷大的导体平面。由于传输线上所带的电荷靠近导体平面，导体表面会出现感应电荷。此时地面上方的电场由原电荷和感应电荷共同产生。 镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。 边值问题： （导板及无穷远处） （除 q 所在点外的区域） （S 为包围q的