高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)节导数的综合应用.pptVIP

第十二节　导数的综合应用 1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为__________问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．生活中的优化问题 1．函数的极大值一定比极小值大吗？ 【提示】　极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． 2．如何求实际问题中的最值问题？ 【提示】　有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点． 【解析】　∵f′(x)＝3ax2＋1， 依题意f′(x)＝3ax2＋1有两个实根，∴a＜0. 【答案】　D 【解析】　y′＝－x2＋81(x＞0)， 令y′＝0，即－x2＋81＝0得x＝9， 当x∈(0，9)时，y′＞0；当x∈(9，＋∞)时，y′＜0. ∴函数在(0，9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x＝9时，函数取得最大值． 【答案】　C 3．已知f(x)＝1＋x－sin x，试比较f(2)，f(3)，f(π)的大小为________． 【解析】　f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0. ∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)． 【答案】　f(π)＞f(3)＞f(2) 4．(2013·清远模拟)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 【解析】　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可． 【答案】　(－∞，2ln 2－2] 已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【思路点拨】　(1)先求切点、切线斜率，再求切线方程； (2)利用导数判断函数f(x)在[0，＋∞)上的变化情况，数形结合求解． 【尝试解答】　(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得 f′(x)＝ex[ x2＋(a＋2)x]． 当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e. (2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0， 解得x＝－(a＋2)或x＝0. 当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0， 所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数， 所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根． 当－(a＋2) ＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： 1．在解答本题(2)时应判断f(x)＞f(0)是否成立，这是容易忽视的地方． 2．该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一． 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1. 【思路点拨】　第(2)问构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函数，可利用导数求解． 【尝试解答】　(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R. 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0， 所以g(x)在R内单调递增． 于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)