高中数学必修《简单的线性规划问题》(人教A版必修).pptVIP

第2课时　简单的线性规划问题 线性规划问题的有关概念： 1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 ． 2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式是 ，目标函数又是x、y的 解析式． 3．线性规划问题：求线性目标函数在 条件下的 的问题． 4．可行解：满足线性约束条件的解(x、y) 由所有可行解组成的集合叫做 ． 5．最优解：使目标函数取得 时的可行解． 6．通常最优解在可行域的 取得． 1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是 (　　) A．该直线的截距 B．该直线的纵截距 C．该直线的横截距 D．该直线的纵截距的相反数 解析：把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距． 答案：B 2．若 则目标函数z＝x＋2y的取值范围是 (　　) A．[2,6]　　　　　　 B．[2,5] C．[3,6] D．[3,5] 解析：本题考查线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，平移直线x＋2y＝0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答案． 答案：A 3．在△ABC中，三顶点坐标为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大，最小值分别是 (　　) A．3,1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－1 解析：本题运用线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，即一个封闭的三角形区域(含边界)，再平移直线x－y＝0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答案． 答案：C 解析：本题运用线性规划问题中的有关概念，即变量x，y的一次不等式组称为问题的线性约束条件，研究最值的函数解析式称为线性目标函数． 答案：线性约束条件　线性目标函数 5．已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围． [分析]　求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值． [点评]　(1)中z并不是直线2x＋3y＝z在y轴的截距，而是截距的3倍，因此，直线过点B时， 最小，z最小． (2)中z并不是直线3x－y＝z在y轴的截距，而是截距的相反数，过A(－3,0)截距最大而z值最小，注意不要搞反． 迁移变式1　设x，y满足 则z＝x＋y(　　) A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最大值，也无最小值 解析：如图3所示． 作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值． 答案：B [分析]　把所求问题赋给相关的几何意义，即圆与斜率． [解]　画出满足条件的可行域如图4所示， (1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0. [例3]　已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________． [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①可行域已知； ②目标函数在(3,1)处取得最大值． 解答本题可利用逆向思维，数形结合求解． [解]　由约束条件画出可行域(如图6所示)，为矩形ABCD(包括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大， ∴－akCD，即－a－1，∴a1. [答案]　a1 [评析]　这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解． [例4]　某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？ [点评]　对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解： ①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解． ②检查优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，