高中数学种命题与种命题间的相互关系新人教A版选修.pptVIP

[分析]　由题目可以获取以下主要信息： ①所给命题涉及到一元二次不等式的解集； ②判断逆否命题的真假． 解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去判断命题的真假． [解]　方法1：原命题的逆否命题： 已知a，x为实数，若a1， 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下： 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a1，所以4a－70. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点． 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集． 故原命题的逆否命题为真． q：B＝{a|a≥1}． 因为A?B，所以“若p，则q”为真． 所以“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真． 即原命题的逆否命题为真． [点评]　命题的问题可以和其他很多知识相结合，例如本题就是一道有关集合，不等式的解集，二次函数的图象，四种命题的关系的综合题，要求对这几方面的内容非常熟练，且要有一定的分析推理能力，通过一题多解，培养发展创新的能力． 迁移体验4　判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假． 解：∵m0，∴12m0，∴12m＋40. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40. ∴原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真． 思 悟 升 华 1．正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 (1)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，因此，若原命题为：若p，则q，则其逆命题为：若q，则p；否命题为：若綈p，则綈q；逆否命题为：若綈q，则綈p. 为便于书写各种命题，当原命题不是“若p，则q”的形式时，应先将命题写成规范形式“若p，则q”，然后再进行书写其他三种命题． (2)在将一个命题改写为“若p，则q”的形式时，写法不是惟一的． 如：命题“负数的平方是正数”可写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”，其对应的逆命题、否命题、逆否命题分别为： 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数； 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数． 也可写成“若一个数是负数的平方，则这个数是正数”，则其对应的逆命题、否命题、逆否命题相应变为： 逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方； 否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数； 逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方． 2．四种命题的相互关系 (1)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． (2)由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 2．(1)四种命题间的相互关系 (2)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 尝 试 应 用 1．若xy，则x2y2的否命题是(　　) A．若x≤y，则x2y2 B．若xy， 则x2y2 C．若x≤y，则x2≤y2 D．若xy， 则x2y2 答案：C 2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(　　) A．逆命题　　　　　 B．否命题 C．逆否命题 D．无关命题 答案：A 3．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题． 解析：两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念． 答案：互逆 4．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的等价命题是________． 答案：若sinα≠sinβ，则α≠β 5．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假． 解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题． 逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题． 否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题． 逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题． 典 例 精 析 类型一　　四种命题