高数(上)中值定理.pptVIP

* 人的思维可以分为：逻辑思维、 形象思维和灵感思维。迄今为止， 对逻辑思维的研究比较充分；对形 象思维的研究取得了一定成果；而 对灵感思维的研究几乎是零。 1、引理 若函数 y = f ( x ) 在区间 I 内的 x0 处可导且取得最值，则 f ’( x0 ) = 0 证明思路 x0处可导 f ’ ( x0 – ) = f ’ ( x0 + ) f ( x0 )最大 f ’ ( x0 ) = 0 证： 因为，区间 I 内 f ( x0 ) 最大 第三章 中值定理 导数应用 §3.1 微分中值定理 直观上看，就是函数曲线在最高处有水平切线 函数在区间内取得最小值的情况， 也可以类似证明。 2、罗尔定理 条件： 函数 f ( x ) 满足 1、在闭区间 [ a , b ] 上连续； 2、在开区间 ( a , b ) 内可导； 3、f ( a ) = f ( b ) 结论： 在 ( a , b ) 内至少存在一点 ? ，使得 f ’ ( ? ) = 0 注意：条件缺一不可； 证明的关键是： ?存在，并且是区间的内点； 罗尔定理的条件充分而非必要。 a b 。 证明思路 M = m f ( x ) = C ( a , b ) 内任意点可为 ? M ≠ m M , m 不可能都在端点取得， 设 M 由区间内某点取得 f ( a ) = f ( b ) 由引理可得结论 仅供参考， 不作要求 这类问题容易发生逻辑性错误：“由···(定理)，得···(结论)” 应该验证： 1、满足定理的条件； 2、（不依赖定理）可以独立得出结论。 3、关于“对函数验证···定理” 验证： 所以，函数在给定区间上满足罗尔定理的条件 例1 根据罗尔定理，在区间（1，2）（2，3）内，各至少有一 点 ?1，?2 使 f ’( ?1 ) = 0 和 f ’ ( ?2 ) = 0 4、利用罗尔定理讨论某些方程根的情况 罗尔定理表明：如果闭区间连续，开区间可导的函数 y = f ( x )有两个点 x1 , x2,其函数值相等， 则，方程 f ’ ( x ) = 0 在 x1 , x2 之间必有至少一个实根。 例2 不求函数 f ( x ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 3 )的导数， 说明方程 f ’ ( x ) = 0 有几个实根。 解：函数 f ( x ) 在整个实数轴上连续、可导， 且 f ( 1 ) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0 , 满足罗尔定理的条件， 但是，f ’ ( x ) = 0 是二次方程，至多有两个实数根， 所以，f ’ ( x ) = 0 有且仅有两个实根 x = ?1 和 x = ?2 二、拉格朗日中值定理 条件：1、函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续； 2、函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导。 结论：在 ( a , b ) 内至少存在一点 ?， 使 f ( b ) – f ( a ) = f ’ ( ? ) ( b – a ) 1、拉格朗日中值定理 分析： 2、拉格朗日中值定理的几何意义 a b x y O ?1 ?2 A B f ( b ) – f ( a ) 3、拉格朗日中值公式的其它形式 注意： 函数的微分是增量的近似值，有公式 其中，x 在区间的端点取值，d x 则要很小。且 f ’( x ) 不为零。 而拉格朗日增量公式则是一个精确公式 因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式 4、拉格朗日定理的重要推论（P94推论） 证： 另外，容易证明： 课本例3 证： 利用中值定理可以证明某些不等式。 证： *