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第十节 闭区间上连续函数的性质 1. 闭区间上连续函数的定义 2. 区间上函数最大值最小值的定义 一、有界性与最值定理 二、零点定理 三、介值定理 推论: 数值分析中“二分法”的原理 小结 课堂练习 2. 3. 作业 课堂练习 第一章 函数与极限 都是闭区间上的连续函数 不是连续函数 例, 注: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值. 分析: 设 则 使 或在闭区间内有间断 点 , 取 有界但无最大值和最小值 有界也无最大值和最小值 又如, 又, 例如, x y O ° ° 1 ? ° ° 定理2. 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 定理3. 在闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 . 例1. 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 即原方程在 (0, 1) 内至少有一个根 ? . 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 则 则 二分法是用来求方程的根的一种数值方法. 例1中已经证明了方程 在区间 (0, 1) 中至少有一个根, 为了求得这个根, 数值上用二分法来实现. 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 使 必存在 证: 由零点定理, 至少有一个不超过 4 的正根. 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然, 上连续 , 且恒为正 , 对任意的 必存在 使 证明: 证: 令 , 则 使 即 当 时, 取 或 , 则有 P74 2 3 4 6