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第二节 一、无界函数的反常积分 定义2.1 设 说明: 注意: 若瑕点 例1. 计算反常积分 例3. 证明反常积分 二、无界函数反常积分的审敛法 定理1. (柯西审敛法) 定理2. (极限审敛法) 例5. 判定椭圆积分 类似的, 有下列结论: 内容小结 内容小结 思考 * 二、无界函数反常积分的审敛法 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无界函数的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无界函数的反常积分 第六章 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 讨论反常积分 的敛散性 . 解: 所以反常积分 发散 . 证: 当 q = 1 时, 当 q 1 时收敛 ; q≥1 时发散 . 当 q≠1 时 所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 解： 求 的无穷间断点, 故 I 为反常 积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如 因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 . 定理2.1比较审敛法及其极限形式P281 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 , 有 有 利用 有类似的审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) . 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 例5. 判别反常积分 解: 利用洛必达法则得 根据极限审敛法2 , 所给积分发散 . 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解: 由于 的敛 根据极限审敛法 , 椭圆积分收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为绝对收敛 . 则反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 解 根据比较审敛原理, 的敛散性。 1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 1. 积分 的瑕点是哪几点？ 2. 判别积分 的敛散性。 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 思考题1 解答 积分 可能的瑕点是 不是瑕点, 的瑕点是 * * * * *