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§1.1 映射与函数 一、集合 二、 映射 引例2. 定义4. 例1. 说明: 2. 逆映射与复合映射 (2) 复合映射 定义. 三、函数 五、小结 五、小结 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数. (3)函数的奇偶性 奇偶函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x 都是奇函数. 下页 奇函数的图形对称于原点 偶函数的图形对称于y轴 奇偶函数的图形特点 (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l,使得对于任一x?D有(x?l)?D, 且f(x+l)=f(x), 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点 下页 有理数点 无理数点 ? 1 x y o 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例10, 常量函数 狄里克雷函数 x 为有理数 x 为无理数 (1) 反函数的概念 若函数 为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 其反函数 (减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 (2)性质: 3.反函数与复合函数 反函数 下页 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 指数函数 下页 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① — 复合映射的特例 ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 函数 但函数链 不能构成复合函数 . 可定义复合 复合函数 4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, D?D1?D2??, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f ?g : (f ?g)(x)?f(x)?g(x), x?D; 积 f ?g : (f ?g)(x)?f(x)?g(x), x?D; 下页 例11 设函数f(x)的定义域为(?l, l), 证明必存在(?l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)?g(x)?h(x). 提示: 如果f(x)?g(x)?h(x), 则f(?x)?g(x)?h(x), 于是 证 则 f(x)?g(x)?h(x), 且 下页 基本初等函数 幂函数: y?x ? (??R是常数); 指数函数: y?a x(a?0且a?1); 对数函数: y?loga x (a?0且a?1), 特别当a?e时, 记为y?ln x; 三角函数: y?sin x, y?cos x, y?tan x, y?cot x, y?sec x, y?csc x; 以上函数图形 5.初等函数 下页 反三角函数: y?arcsin x, y?arccos x, y?arctan x, y?arccot x . 5.初等函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等函数. 例如, 函数 下页 再如 , 可表为 故为初等函数. 双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是: 双曲正弦: 双曲余弦: 双曲正切: 下页 双曲函数与反双曲函数 ( 自学, P17 – P20 ) 基本概念 集合, 区间, 邻域, 映射. 函数的概念 几个高数中见到的新函数 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数和复合函数 作业P22 13; 15-(2)(3) ; 16 ;17 上页 下页 * 结束 返回 首页 一、集合 二、映射 三、函数 上页 下页 结束 返回 首页 1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标