高数下学期复习课().pptVIP

2009学年第二学期高等数学二总复习 3、利用坐标作向量的线性运算 4、向量的模 第二节 数量积 向量积 第三节 曲面及其方程 二次曲面 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程 第九章 多元函数微分法及其应用 主 要 内 容 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 定义2 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 定义3 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上 如果存在 则称 n 元函数 各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续. 连续。 一、偏导数的定义及其计算方法 二、高阶偏导数 一、偏导数定义及其计算方法 当点(x, y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时， 二元函数z = f (x, y)一般有不同的变化率. 我们先讨论当沿着平行于x 轴或y轴方向变动 （即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时 函数的变化率. 此时，它们就是一元函数的变化率. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 定义1 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数 记为 或 y 偏导数存在 , 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数: 则 注: 故在其定义区域内 是连续的 ,因此求初等函数的高阶导数可选择方便的 求导顺序. 初等函数的偏导数为初等函数 , 定理 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、小结与思考练习 定义 函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 在点 (x, y) 的全微分为 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有 定理1(必要条件) 若函数 的偏导数 则函数在该点可微. 定理2 (充分条件) 函数可偏导 函数可微 偏导数连续 函数连续 关系图： 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分的形式不变性 一、多元复合函数的求导法则 定理 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 设下面所涉及的函数都可微 . 中间变量是多元函数的情形，如 推广: 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 上面的求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 定理2 两边对 x 求偏导 同样可得 则 解： 利用隐函数求导 再对 x 求导 例2 设 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 曲面 ? 在点 M 的法向量 切平面方程 法线方程 解: 设切点为 则 例 如果平面 与椭球面 相切, (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 一、方向导数 二、梯度 返回 上页 下页 目录 * * 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第八章 向量代数与空间解析几何 1. 向量的概念及其线性运算 2. 空间直角坐标系 3. 利用坐标变量作向量的线性运算 4. 向量的模、方向角、投影 第一节 向量及其线性运算 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系 Ⅰ 向径 点 M 有序数组 (称为点 M