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总复习 一、向量的概念 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 定理1. 三、空间直角坐标系 在直角坐标系下 2. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 2. 方向角与方向余弦 3. 向量在轴上的投影 混合积: 2. 二次曲面 空间直线 2.线面之间的相互关系 线与线的关系 面与线间的关系 3. 相关的几个问题 (2)点 (3) 点 * 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 记作 e 或e . 或 a . 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 三角不等式 可见 ? 是一个数 , 规定 : 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) a∥b Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ zOx面 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量, 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 记 则 平行向量对应坐标成比例: 设 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 第二节 则 a 在轴 u 上的投影为 例如, 在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为? , , 即 投影的性质 2) 1) (?为实数) 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 2. 向量关系: 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C′为 类似地，消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程，消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程。 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1. 空间直线与平面的方程 为直线的方向向量. 一般式 对称式 参数式 为直线上一点; 面与面的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 直线 直线 垂直: 平行: 夹角公式: 平面: 垂直： 平行： 夹角公式： 直线: (1) 过直线 的平面束 方程 ? 的距离为 到平面 ? ：A x+B y+C z+D = 0 d 到直线 的距离 为 d * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *