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二、可微的条件 三、小结 全微分的定义 可微的条件 小结 作业 total differentiation 第三节 全 微 分 第八章 多元函数微分法及其应用 函数的变化情况. 偏导数讨论的只是某一自变量变化时 函数的变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时 全 微 分 先来介绍 全增量的概念 为了引进全微分的定义, 全增量. 域内有定义, 函数取得的增量 全增量. 全 微 分 一、全微分的定义 全微分的定义 处的 全微分. 全 微 分 可表示为 可微分, 在点 则称函数 称为函数 记作 即 函数若在某平面区域D内处处可微时, 则称 可微函数. 这函数在D内的 而不依赖于 可微与偏导数存在有何关系呢？ 微分系数 注 全微分有类似一元函数微分的 A=? B=? 两个性质: 全 微 分 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数. 的线性函数; 高阶无穷小. 1. 可微分的必要条件 ( 可微必可导). 定理1 (可微必要条件) 如果函数 可微分, 且函数 的全微分为 全 微 分 证 总成立, 同理可得 上式仍成立, 此时 的某个邻域 如果函数 可微分, 全 微 分 可微分, 都不能保证函数在该点连续. 多元函数在某点可微是否保证 事实上, 显然, 答: 由全微分的定义有 可得 多元函数可微必连续 连续的定义 不连续的函数 上一节指出, 多元函数在某点各个偏导数 即使都存在, 函数在该点连续 如果函数 可微分, 则函数在该点连续. 一定是不可微的. 全 微 分 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 如， 下面举例说明 二元函数可微一定存在两个偏导数. 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 回忆:一元函数的可导与可微的关系? 但两个偏导数都存在函数也不一定可微. (由偏导数定义可求得) 由定理1知 全 微 分 则 说明它不能随着 而趋于0, 因此, 如果考虑点 沿直线 趋近于 全 微 分 说明 各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 这也是一元函数推广到多元函数出现的又 函数是可微分的. 多元函数的各偏导数存在并不能保证 全微分存在. 一个原则区别. 现再假定函数的 则可证明 全 微 分 各个偏导数连续, 2. 可微分的充分条件 定理2 (微分充分条件) 全 微 分 偏导数 证明:省略 在原点(0,0)可微. 并非必要条件. 如 事实上, 注 定理2的条件 (即两个偏导数 在点 连续) 可微的充分 全 微 分 仅是函数 在点 条件, 同样, 全 微 分 在原点(0,0)可微. 于是, 即函数f(x,y)在原点(0,0)可微. 但是, 事实上, 偏导数在原点(0,0)不连续. 全 微 分 所以, 特别是 不存在. 即fx(x,y)在原点(0,0)不连续. 极限 fy(x,y)在原点(0,0)也不连续. 同理可证, 函数在一点可微, 此题说明: 在这点偏导数不一定连续. 记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和 叠加原理也适用于二元以上函数的情况. 习惯上, 称为二元函数的微分符合叠加原理． 全 微 分 如三元函数 则 解 全 微 分 计算函数 在点 的全微分. 所以 例 解 全 微 分 例 答案 全 微 分 全 微 分 解 例 试比较 的值. 全 微 分 2002年考研数学一, 3分 考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质: ① f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, ② f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, ③ f (x, y)在点(x0 , y0)处可微, ④f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在. 若用“　　　” 表示可由性质P推出性质Q,则有 (A) ② ③ ①. (B) ③ ② ①. (C) ③ ④ ①. (D) ③ ① ④. 单项 选择题 连续. D 全 微 分 结论不正确的是( ). 都存在, D 全 微 分 全 微 分 填空题 (非) 事实上, 全 微 分 是非题 全微分的定义 全微分的计算 多元函数极限、连续、偏导、可微的关系 (注意：与一元函数有很大的区别) 全 微 分 可微分的必要条件、 可微分的充分条件 对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系： 可微 可导 连续 有极限 对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系： 偏导连续 可微 连续 有极限 有偏导 全 微 分 全 微 分 全微分公式 恒成立吗? 不一定. 考虑函数 思考题1 作业 习题8-3 (28页