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级数 ———幂级数 无穷 ———傅立叶级数 ———数项级数 ———函数项级数 ———幂级数 ———幂级数 Abel定理 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. ———幂级数 若 的系数满足 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝+∞时, 则 例3. 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 所以用定义法 例3. 的收敛半径 . 若幂级数 的收敛半径 则其和函数 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: ———幂级数 • 求部分和式极限 三、幂级数和函数的求法 求和 逐项求导或求积分 对和函数求积或求导 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 • 初等变换法: 分解、套用公式 • 数项级数 求和 下面是我个人总结的几种 比较常见的变换的方向 1） 式 2） 将下列函数展开成 x 的幂级数 解: （ x  1 时, 此级数条件收敛 ） 因此 其中 解: 令 作幂级数 设其和为 易知其收敛半径为 1, 则 总之，求各种各样的幂级数，套用公式的办法就是 简单的转换形式、 求导后形式简单的求导、 求积分后形式简单的求积分 由多部分组成的先拆分 ———幂级数 泰勒级数是通过求导提高项数来更好的逼近原函数，并且是从该点逐渐向远处逼近的， 但是，求高阶导的次数是有限的，如何保证在很远处甚至无穷远处，所给出的函数仍然可以很好的逼近原函数呢~· (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 其它 转换为 周期延拓 F (x) 奇延拓 定义在[0,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 转换为 定义在[– ,]上的函数 f (x) 定义在[0,L]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 经过线性变换 转换为 定义在[0,]上的函数 f (x) 给定任意区间的 线性变换在（0，） 上 运用傅立叶展开式算出函数 用在所求区间内的数带入得到结果 有条件 要转换， 没有条件， 创造条件 也要转换