高数矩阵的初等变换.pptVIP

系数矩阵和增广矩阵 例2. 2. 1　三元线性方程组 上述增广矩阵的变化对应着方程组的同解变换，这就是矩阵的初等变换，另加一种对矩阵来说是很有用的变换：交换矩阵的两行，就得到矩阵的三种行初等变换。 整理得 对增广矩阵做行初等变换 因第一行第一列的元素为0，因此将矩阵的第一、二两行交换，使得第一行第一列的元素不为0，这样就可以通过如下的行变换把矩阵化为第一列只有一个非零元(处在第一行，最好取为1)的矩阵.然后保持第一行不动，只对矩阵第二行以后的元素做初等行变换.此时如果第二列处在第二行之后的元素不都为0，则把由第二行和第二列以后的元素构成的小一阶的矩阵再重复实行上述变换;如果第二列的处在第二行以后的元素全为0，则直接从第三列的处在第二行之后的元素进行同样的处理.反复进行这个过程，我们就可以通过初等行变换将一个矩阵化为上三角形方程组的增广矩阵，然后就很容易把方程组的解求出来. 3. 标准形矩阵（教材中没有定义却有例题） 定义 如果 m×n 阶矩阵 (aij )mn 满足 aii= 1，i =1, 2, …, r ( 其中r不大于m和n )，除此以外所有元素均为0，则称该矩阵为标准形矩阵. 从以上的例子中不难看出，每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形. 可以证明, 标准形的得到与施行怎样的初等变换（不管是行变换还是列变换,通常要用到列变换）无关，即所有矩阵的标准形都与原矩阵具有相同的秩。因此标准形矩阵是唯一的。 解下列矩阵方程:AX=Bi 对应的线性方程组的增广矩阵是 1.1.3 用矩阵的行初等变换解 讨论:下列两个矩阵的秩是否相等? 第一组后一矩阵R1+R3=R2!第二组前一矩阵R1+R2+R3得到前一矩阵的R’1，由R2+R3得到R’2，初等变换不改变矩阵的秩! 解矩阵方程:AX=B2的过程是否与前面一样? 需要作相应改变的只是第四列,步骤一点儿也不变! -2 -2 上面的过程合并到一起，就是解矩阵方程AX=I，可以放到一个大矩阵中进行，如右上。 令 I 是单位矩阵，对于数，若 ax = 1, x 是 a 的倒数，那么这里的矩阵X与A是什么关系呢？有什么用呢？咱们下节课继续讨论。 作业 2.2.7 中奇数题 2.2.9（1） 提示: 2.2.9（1）中的X必为二阶矩阵，分别求X的列向量相当于求解两个方程组，即 两个方程组是否能放在一个矩阵中同时解？ * * 此处为了使学生有感性认识, 应该任意给出一个四元线性方程组具体地示范一下. * * * * * * * * * * * * 2.2.4 初等变换和矩阵的秩 本节主要内容： 掌握矩阵的初等变换和矩阵的秩的定义； 熟练运用初等变换化简矩阵，求矩阵的秩； 熟练运用初等变换求一般线性方程组的解。 简单回顾 矩阵的定义 矩阵的相等 矩阵的乘法和线性方程组的关系 n元线性方程组 n元线性方程组 n元线性方程组定义 齐次(线性)方程组 方程组中的矩阵：系数矩阵和增广矩阵 阶梯形方程组 上三角形方程组 阶梯形方程组 能化为上三角形的必要条件是m=n. 加减消元法解方程组就是通过同解变形化为如下结果 的　　　　和　　　　分别是 系数矩阵 增广矩阵 由矩阵乘法，线性方程组可表示为AX=B，那么如何由矩阵变换来解线性方程组呢？ 1.初等变换 消元法解线性方程组的实例引入初等变换 的增广矩阵是 ① ② ③ 的增广矩阵是 ① ② ④ 1) ③＋①×2, 消去③中的x1, 得到一个同解方程组 的增广矩阵是 ① ② ⑤ 2) ④－②× 消去④中的x2, 又得同解方程组 ⑤× , 得到同解方程组 的增广矩阵是 ① ② ⑥ 初等变换的定义 初等行变换 ( 1 ) 交换 A 的第 i 行与第 j 行，记作Ri? Rj ； ( 2 ) 用一个非零实数：乘以 A 的第 i 行，即用该数乘以该行的每个元素，所得各数按原来次序作为同一行的元素，记作 Ri · c； ( 3 ) 用一实数c乘以 A 的第 j 行（如（ 2 ）中所述）后，再加到 A 的第i 行上，记作 Ri ＋ Rj ·c（称为第 i 行加上第 j 行的c倍），当c＜ 0 时，也记作 Ri － Rj ·c. 初等列变换 当上述三种变换中的行改为列时，我们称为 A 的三种初等列变换．（列变换不能简单地用于解线性方程组） 用矩阵的初等行变换解线性方程组 解:根据矩阵相等的定义,必有: 例2.2.2 求解未知数，使下列两矩阵相等。这里， 它的增广矩阵 ( 板演过程 ) 最终得解为 2. 阶梯形矩阵 ——解方程组就是将它的增广矩阵通过初等变换化为上三角矩阵（更一般的应该是阶梯形矩阵） 定义（教材136页） “右下方”而不能是”下方”! 其中( 1 )