高数学选修充分条件与必要条件.pptVIP

1．知识与技能 理解充分条件、必要条件、充要条件的概念． 2．过程与方法 会具体判断所给条件是哪一种条件． 本节重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定． 本节难点：判定所给条件是充分条件、必要条件，还是充要条件． 本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面： 1．学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解． 2．(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，归纳出条件与结论的推出关系，建立充分条件、必要条件的概念． (2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p. 1．从逻辑关系上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定： 2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定： 首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}. 3.一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题?逆否命题”、“否命题?逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法． (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分条件；若p?q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件． 4．充要条件的传递性 若A?B，B?C，C?D，则A?D，即A是D的充分条件，利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系． 5．充要条件的证明 证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明命题“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性． 注意：(1)在分析p与q的关系时，要考查“p?q”和“q?p”两个方面后，才能下结论，比如仅有“p?q”成立时，则既可能p是q的充分不必要条件，也可能p是q的充要条件． (2)在分析p与q的关系时，要分清p与q的前后顺序及判断对应的方向． 1．当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作 ，读作 . 2．如果p?q，则p叫做q的 条件． 3．如果q?p，则p叫做q的 条件． 4．如果既有p?q成立，又有q?p成立，记作 ，则p叫做q的 条件． 5．如果p?q，那么p与q互为 条件． [点评]　1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题、逆命题均为假，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．判断p是q的什么条件，应掌握几种常用的判断方法． (1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法；(4)传递法．有时借助数轴、韦恩图、集合等知识形象、直观的特点或举反例，赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果． (2010·上海文，16)“x＝2kπ＋ (k∈Z)”是“tanx＝1”成立的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A [例2]　设a，b，c为△ABC的三边，求证：x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. [分析]　由题目可获取以下主要信息： ①a，b，c为△ABC的三边． ②求证两方程有公共根的充要条件是∠A＝90°. 解答本题可先证明充分性，再证明必要性． [证明]　充分性： ∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2， 于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0， 即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0， ∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0， ∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)， 同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0， 即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0， ∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0， ∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)， 可以发现x1＝x3，∴这两个方程有公共根． 必要性：设β是两方程的公共根， 由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)， 将β＝－(a＋c)代入①并整理可得：a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°. [点评]　(1)证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p?q”和“q?p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系． (2)要分清命题中的条件和