高等数学A(一)复习资料及PPT上海大学出版社.pptVIP

高等数学 A (一) 总复习（2） 五、 函数有界、极限、连续与可导的关系 选择与填空 六、 导数的应用 例题讨论 曲线的切线方程与法线方程 函数最值问题的应用 98 级 考题中： 七、 利用定理进行证明 证明函数可微性的主要方法： 利用函数的连续性找 f (x0) 利用导数的定义 利用 L — 中值定理 利用函数极限与无穷小的关系 证明不等式的常用方法： 作出适当的函数 利用函数的单调性 求出函数的最值（当函数不单调时） 利用 L—中值定理 （当不等式有增量形式时） 利用泰勒公式 证明恒等式的常用方法： 利用罗尔定理（要验证条件） 利用 L — 中值定理 利用 L — 中值定理的推论： 证明方程根的存在性与唯一性： 证明方程 f (x) = 0 有根 设 f (x) 在 [ 0,1] 连续，在 ( 0, 1) 可导， 泰勒公式 认真复习 祝同学们 1 . 零点定理（证明方程根的存在性） 2 . 介值定理 4 . 罗尔定理（证明导函数的零点存在） 5 . 拉格朗日(Lagrange)中值定理 （①导数与增量比的关系，②证明不等式） 3 . 最大最小值定理 6 . 利用函数单调性证明不等式 7 . 泰勒公式 L —定理的条件与结论： 及其它定理的条件与结论, 知道： 泰勒公式的展开式及余项的形式。 罗尔定理 闭区间上连续函数的性质 (条件与结论) 无穷小与函数极限的关系 无具体函数时， 从结论出发找 辅助函数 F(x) 。 零点定理 证明方程 f (x) = 0 有根 罗尔定理 证明方程 根的唯一性 ① 利用函数的单调性 ② 利用罗尔定理反证 证： = A · 0 = 0 证： = 0 ， 得证。 证明不等式 证一： 得证。 由 L—定理 证二： = 0 , ↘ 设 f (x) 在 [ 0, c] 连续，在 ( 0, c) 可导， 证明： 证:(1) 且在 [ 0,1] 连续， 由介值定理， 若由此证明 * 收敛数列（函数）的性质 (唯一性 , 有界性 , 保号性) 数列有界 数列无界 数列收敛 数列发散 无穷大量 无界变量 函数在 x0 处极限存在 函数在 x0 处有定义 函数在 x0 处连续 函数在 x0 处可导 函数在 x0 处可微 (A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数 D ∵f (x) 是奇函数， 奇 下列命题不成立的是（ ）. C . 连续的奇函数的原函数是偶函数； D . 连续的偶函数的原函数是奇函数。 A . 可导的奇函数的导函数是偶函数； B . 可导的偶函数的导函数是奇函数； 奇 偶 偶 奇 D ？ 下列函数中，是无界函数 但不是无穷大量的是 ( ) . D 下列命题正确的是 ( ) . (A) 无界变量就是无穷大量； (B) 无穷大量是无穷小量的倒数； (C) f (x) 在点 x0 不可导,必在 x0 处不连续; (D) f (x) 在 [a, b] 连续, 必在 [a, b] 有界。 D 设 f (x) 在 [ a, b] 连续，在 ( a, b) 可导， 下列结论不成立的是 ( ). C A、D 显然成立， 则 f (x) 在 x = 0 处 ( ) . (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 = 0 C 若 f (x) 在 x = 0 处连续, 则 α _______; 若 f (x) 在 x = 0 处可微, 则 α _______。 设 f (x) 在 x0 处可导，且 B -2 -2 设 f (x) 在 x = x0 处可微, 且 — — 设 f (x) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导， 解： = 0 ； = 0 ； 设 f (x) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导， = e = e . 函数的增减性与单调区间 函数的凹凸区间与拐点 及其判别 函数的极值及其判别条件 求函数的最大值与最小值 作函数的图形，求渐近线 曲线的切线方程与法线方程 最值的应用 (尖点) 来划分函数的定义区间，讨论 各区间上 来确定 f (x) 在各 区间上的单调增减性。 及 第二充分条件 利用 第一充分条件， 在上述所分区间上， 判断函数的极值点， 并求出极值。 求函数的单调区间： (注意取得极值的必要条件) 求函数的极值： 坐标为 ( x0, y0 )。 求函数的凹凸区间与拐点： 来划分函数的定义区间，讨论各区间上 确定 f (x) 在各区间上的 凹凸性 求函数的最大值与最小值： 求出函数驻点(或导数不存在的点)处 与端点处函