高等数学zD向量及运算.pptVIP

第八章 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 2. 向量的减法 3. 向量与数的乘法 定理1. 三、空间直角坐标系 在直角坐标系下 2. 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 例2. 例3. 已知两点 说明: 由 五、向量的模、方向角、投影 例4. 求证以 例5. 在 z 轴上求与两点 提示: 2. 方向角与方向余弦 例7. 已知两点 例8. 设点 A 位于第一卦限, 3. 向量在轴上的投影 例9. * 目录 上页 下页 返回 结束 数量关系 — 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八章 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 记作 e 或e . 或 a . 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 三角不等式 可见 ? 是一个数 , 规定 : 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 反向时取负号, , a , b 同向时取正号 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , “ ” 则 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ zOx面 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量, 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 记 则 平行向量对应坐标成比例: 设 求解以向量为未知元的线性方程组 解: ① ② 2×① －3×② , 得 代入②得 在AB所在直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 及实数 得 即 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式: 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 例6. 已知两点 解: 求AB的单位向量 e . 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 方向余弦的性质: 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点