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高等数学课件 第五节 曲面与曲线 二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 二次曲面 * 二次曲面的简单介绍 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二次曲面 第八章 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与 的交线为 (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c时为球面. (3) 截痕: 为正数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 椭圆： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 椭圆的三维立体图形 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号) 截痕法： ，得两条相交的直线。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号) 截痕法： ，得一对双曲线。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号) 截痕法： ，得一对反向的双曲线。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号) 截痕法： ，得开口向上的抛物线。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( p , q 同号) 截痕法： ，得开口向下的抛物线。 (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到。 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 说明二次曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的类型。 解 当p = 0,q = 0时， 是抛物柱面; 当 是椭圆抛物面; 是双曲抛物面; 当 是椭圆柱面; 是双曲柱面; 当 是椭球面; 是单叶双曲面; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是双叶双曲面; 是单叶双曲面; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 设空间曲面由双参数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 给出，试求出此曲面的一般表达式。 解 由参数方程可得 解出 所以 双曲抛物面 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结： P403 运行时, 点击“椭球面”,“抛物面”, “双曲面”, “椭圆锥面” 可显示有关内容. * * * *