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工程数学 高等数学 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一、集合 表示法： （二）集合的运算 2、集合的并、交、补运算满足下列法则： 区间的概念: (1)开区间:设a和b都是实数,且ab,数集 二、映射 注意： 说明: （二） 逆映射与复合映射 2、复合映射 三、函数 函数构成要素 （二） 函数的几种特性 2、 单调性 3、 奇偶性 4、 周期性 （三） 反函数与复合函数 性质: 2、 复合函数 两个以上函数也可构成复合函数. 3、函数的运算 （四） 初等函数 内容小结 第二节 数列的极限 一 、数列极限的定义 几何解释 : 例1、 例2、 二、收敛数列的性质 例、 定理2、（收敛数列的有界性） 定理3、（ 收敛数列的保号性） 定理4、（收敛数列的与其子数列的关系） 内容小结 第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 几何解释: 例1、 例2、 例3、 例4、 左极限与右极限 （二）自变量趋于无穷大时函数的极限 例6 极限的两种特殊情况 : 二、函数极限的性质 定理3（函数极限的局部保号性） 推论: 定理4（函数极限与函数极限的关系） 内容小结 第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 定义1、 定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 例 、 无穷小与无穷大的关系 内容小结 第五节 极限运算法则 一、 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例1、 二、 极限的四则运算法则 证1、 证3、 定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的 定理4、 例2、 例3、 分式求极限一般有如下结果： 定理5、 三、 复合函数的极限运算法则 说明: 内容小结 第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 2、 例、 二、 单调有界数列必有极限 例、 *3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) 二、 两个重要极限 注： 2. 例、 两个重要极限的其它表达 第七节 无穷小的比较 定义. 例1、 定理1、 定理2 、 例2. 内容小结 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 说明: 渐近线 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 则有 定理 3 、若 1、 2、 3、 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 证明2略 为无穷小 (详见P44) 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, （1） （2） 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 情形 若 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 若 求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 为非负常数 ) 证： 由第三节定理3推论，有 定理6、 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 若定理6中 则类似可得 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 二、 两个重要极限 一、极限存在准则 （一） 夹逼准则 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 1、 如果 （2）