高等数学上册辅导.PPTVIP

1.1 函数的概念及其初等性质 1.1.2 函数的概念 1.1.3 复合函数和反函数 1.1.4 初 等 函 数 1.2 数 列 极 限 1.3 函 数 的 极 限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 连 续 函 数 注意： 只能对函数的乘积因子作等价无穷小代 换. 对于代数和中各无穷小不能作等价 无穷小代换 . 否则，因丢失高阶无穷小， 而导致错误的结果 . 错误结果！ 导致错误的结果 . 三. 无穷大及其性质 定义3 性质4（四则运算） （证明略） 注：四则运算对有限个存在极限的函数而言. 性质5（极限不等式） 证 注意: 性质6（迫敛性或两边夹定理） 性质7（海涅( Heine,1821-1881,德 )定理） （证明略） 注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系. （证明略） ⅰ ⅱ 推论:( 判断 不存在的方法 ) 证 性质8（极限的变量代换） （证明略） 四. 两 个 重 要 极 限 (1) 1 证 ( 证毕 (2) 证 证毕 定义1 一. 无穷小及其性质 定理1（一般极限与无穷小的关系） 定理2 解 解 二. 无穷小阶的比较 极限不同, 反映了趋向于 0 的“快慢”程度不同 . 观察各极限 定义2 常用等价无穷小 定理3 证 证毕 定理4 ( 乘积因子等价无穷小代换定理 ) ⅰ ⅱ 证 ⅰ ⅱ 证毕 例5 求下列极限 解 三. 数列收敛的判别 定理5（迫敛性或两边夹定理） 证 证毕 例6 解 由两边夹定理， 练习册 习题7 例7 解 由两边夹定理， 单 调 数 列 定理6（单调有界原理） （证明略） 上界 下界 例8 证 例9 证 计算可得： 一. 函数在有限点处的极限 一般地有 定义1 几何解释: 单侧极限: 例如, 左极限 右极限 定理 左右极限存在但不相等, 例1 证 例2 解 左右极限存在且相等, 用 定义” 验证函数极限: 关键是如何由 寻找 ？ 具体方法： 证 证 证 问题: 如何用数学语言刻划两个“无限趋近”. 二. 函数在无穷远处的极限 定义2 定理 1 几何解释: 用 定义” 验证函数极限: 关键是如何由 寻找 ？ 具体方法： 证 证 证 三. 函数极限的性质和运算 性质1（唯一性） 性质2（局部有界性） 证 证毕 性质3（局部保号性） 证 证毕 2. 反函数 不一定！ 定义 结论： 关系 注意： 求反函数的方法： 解 定理 证明略 注意： 1 x y o 1 2 -1 -1 2 基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数、反三角函数. 1.常值函数 2.幂函数 3. 指数函数 4.对数函数 5. 三角函数 6. 反三角函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 复合运算所构成的并且可以用一个式子表示的函数 , 统称为初等函数 . 双 曲 函 数 都是初等函数 解 解 一. 数列极限的定义 数列是整标函数: 注意： 数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动 点在数轴上依次取 问题: 意味着什么? 如何用数学语言定量地刻划它 . 定义1 定义2 注意: 用 定义” 验证数列极限，关 键是如何由任意给定的 寻找 N ？ 具体方法： 例1 证 例2 证 注: 例3 证 证 综合之，故 二. 收敛数列的性质和运算 定理1（唯一性） 证 由定义, 证毕 定理2（有界性） 证 由定义, 证毕 子数列的概念 定义 左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数 列中的次序排成一个新的数列，表为： 简称子列 . 定理 3 证 证毕 推论 1 推论 2 证 证毕 定理4（四则运算） 注意: 四则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用 . 无穷多个收敛数列 这是错误的. * 高等数学电子教案 中国石油大学（华东） 理学院基础数学系 金贵荣 前 言 高等数学的基本内容和方法 几 点 要 求 电话： 《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求： 时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日） 下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 联系人：李 明 （电 要 求：每个班所有同学都要买练习册，由班长统 一收好钱（最好是整钱，建议在班费中支）在上述 《高等