高等数学方明亮极限运算.pptVIP

第五节 极限运算法则 一、数列极限的四则运算 二、函数极限的四则运算法则 三、无穷小量的运算法则 四、复合函数的极限运算法则 内容小结 返回 上页 下页 目录 第一章 （Techniques for Finding Limits） 二、函数极限的四则运算法则 一、数列极限的四则运算 三、无穷小量的运算法则 四、复合函数的极限运算法则 则有 定理1 若 注意： 定理1中的（1）、（2）可推广到有限个收敛数列的情形. 例如， 则有 解: 原式 例1 （习题1-5 1（3）） 定理2 若 （１） （２） （３） （４） 说明: 定理 2中的（1）、（2）可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 ( C 为常数 ) 推论 2 ( n 为正整数 ) 定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 思考： 解答见课本第六节 例3 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 定理4 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 解: 利用定理4 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 例2 求 （课本习题1－5 5（2）） 例3 求 解: 例4 解: 由例3得， 对于有理整函数（多项式） 我们指出， 或有理分式函数 其中 都是多项式， 且 要求其当 时的极限， 只要把 代入函 中即可； 但对于有理分式函数， 如果代入 后，分母等 于零， 则没有意义， 不能通过直接代入的方法求极限． 事实上， 设多项式 则 又设有理分式函数 其中 都是多项式， 于是， 如果 则 如果 则不能直接用商的运算法则 ， 那就需要 特别考虑． 例5 解: 当 时， 括号内两式的分母均趋于0， 于是不能 直接应用四则运算法则来计算。 将函数变形得， 所以， 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 例6 求 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 例7 求 例8 解: 由例7相同的方法得， 而函数 与函数 互为倒数， 所以， 为非负常数 ) ( 如课本 例6 ) ( 如课本 例7 ) ( 如课本 例8 ) 一般有如下结果： 定理5 设 且 x 满足 时, 又 则有 证（略） 说明: 若定理中 则类似可得 解: 令 已知 例9 求 ∴ 原式 = ( 见课本 例4 ) （补充题） 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 （补充题） 例10 求 1. 极限运算法则 (1) 数列和函数极限的四则运算法则 (2) 无穷小运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 课后练习 习 题 1-5 1 单数题 3 4 5 思考与练习 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 问 * * * * 返回 上页 下页 目录