高等数学方明亮版数学重积分的计算方法.pptVIP

第二节 二重积分的计算方法 内容小结 课外练习 返回 上页 下页 目录 第八章 (Calculation of Double Integral) 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习 一、利用直角坐标计算二重积分 曲顶柱体的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 设曲顶柱体的顶为 X型区域 同样, 若曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 Y型区域 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 当被积函数 补充说明（课本没有）： 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例3 计算 例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 二、利用极坐标计算二重积分 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 即 则 设 特别地, 对 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 例7 计算 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 ① 故①式成立 . 注: 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 例8 求球体 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 极坐标系情形: 若积分区域为 习题8－2 1 （偶数题） ； 2 （奇数题） ；3；4 ；6； 7（1）（3）；8（1）（3)；9（2）（4）;10（2）； 11（2）（4） 思考与练习 1. 设 且 求 1. 设 且 求 提示: 交换积分顺序后, x , y互换 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 2. 计算 提示: 积分域如图 3. 交换积分顺序 * * * * 返回 上页 下页 目录 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回.