高等数学讲义微分中值定理与导数的应用.pptVIP

第四章 中值定理 罗尔定理的几何意义，如下图 2. 拉格朗日定理 3. 柯西定理 §2.罗必塔法则 §3. 泰勒中值定理及其应用 2. 一些简单函数的 n 阶泰勒公式 2. 函数的极值及其求法 3. 最大值、最小值问题 2. 拐点 2. 函数作图 2. 曲率圆、曲率中心与曲率半径 七、全面讨论下列函数的性态 并且画出函数的图形 §4. 函数的单调性的判别法和极值 1. 函数单调性的判别法 如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。 定理1的条件结论可改写成： 列表讨论 一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。 “ ”表示单调增加，“ ”表示单调减少。 定理1 还常用来证明一些不等式 极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。 注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。 对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。 什么条件下驻点必为极值点呢？ 由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。 最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。 所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。 为什么？ 例12. 求内接于半径为 R 的球的正圆锥的最大体积。 §5. 曲线的凸向与拐点 仅有单调性仍不能准确地描绘函数的图形，如下列图形虽然都是单调增加的，但存在很大的差异。 y x 0 y x 0 y x 0 1. 曲线的凸向 下面介绍凹、凸的概念 x1 x2 y 0 x y 0 x1 x2 x 用定义来判定函数 f (x)的图形是下凸还是上凸是非常困难的，下面给出充分条件。 我们把曲线凸向发生转变的转折点称为拐点。 §6. 曲线的渐近线与函数作图 2）水平渐近线 1）垂直渐近线 1. 曲线的渐近线 3) 斜渐近线 M P y=ax+b y=f (x) y x 0 函数作图的一般步骤 1) 确定函数的定义域 2) 确定曲线的渐近线 4) 用上述根或导数不存在的点将定义域分成若干 个小区间。 5) 列表讨论 在各个小区间上的符号，并 由此确定函数图形的单调区间和凸向区间以及极 值点和拐点。 6) 求出各分割点处的函数值，可能的话求出曲线在 坐标轴上的截距，用光滑曲线连接这些点便可得 到曲线 y=f (x) 的图形。 * § 1. 罗尔定理、拉格朗日定理与柯西定理 1. 罗尔定理 x 0 y a b ? 注意：定理中的条件是充分条件 。 . . 0 a b ? x y 。 y 0 x . 1 0 1 2 y x x y 0 1 。 . 定理证明中，也可作辅助函数 易验证F(x)满足罗尔定理的条件 a b y x 0 ? 当 f (a)= f (b) 时，拉格日定理即为罗尔定理。 通常称罗尔定理为拉格朗日定理的特例。 拉格朗日定理的几何意义，如下图 推论：若函数 f (x)在[a,b]上导数处处为零，则 f (x) ? 常数 易验证，F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件。 如果取 g(x) = x，则柯西定理即为拉格朗日定理，通常称柯西定理为拉格朗日定理的推广。 运用中值定理，证明题目的关键是如何作辅助函数。 拉格朗日定理又称为拉格朗日中值定理。 1. 泰勒中值定理 泰勒中值定理：设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内具有(n+1)阶导数，并且 x 是该邻域内异于 x0 的点， 那末在点 x 与 x0 之间至少存在一点 ? 使得 上式即称为 n 阶泰勒公式 上式又称为麦克劳林公式 由微分定义知： 作辅助函数 上式即为一阶泰勒公式 由拉格朗日定理知： 因此拉格朗日定理又可称为零阶泰勒公式。 上式即为二阶泰勒公式 3. 泰勒公式的应用 1) 近似计算 2) 求极限 3) 函数值估计