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映射与函数 例 狄利克雷(Dirichlet)函数 狄利克雷(德)1805-1859 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (当x是有理函数时) (当x是无理函数时) 这是一个周期函数, 任何正有理数r都是它 的周期. 因为不存在最小的正有理数, 所以没有 最小正周期. 周期函数的运算性质: [解题提示] 判别给定函数是否为周期函数, 有时也用其运算性质. 映射与函数 为周期的函数. 函数, 主要是根据周期的定义, 为周期的 的最小公倍数 2 1 , ) ( ) ( l l x g x f 是以 则 ± 4. 反函数与复合函数 映射与函数 设函数f : 单射 则它存在逆映射 称此映射 为函数f 的 反函数. 习惯上, 的反函数记成 (1) 定义 反函数(inverse function) 如 单射 反函数 直接函数 通常将 写作 一般地, 映射与函数 直接函数与反函数的图形 直线 对称. 关于 映射与函数 如 其反函数为 指数函数 定义域为 值域为 写成 注 并不是所有函数都存在反函数. 如 函数 定义域为 值域为 但对 都有两个 和 与之对应, x不是y 的函数, 不存在反函数. 并称为对数函数. (减), 而且反函数也是单调递增(减). 映射与函数 在什么条件下, 一个函数存在反函数 反函数存在定理 若直接函数 在D上单调递增 求反函数的步骤 (1) (2) 即得所求函数的反函数 则函数f : 单射 则它必存在反函数 选择题 (1) 函数 的反函数是( ). D (2) 函数 (A) 完全不同的; (B) 部分相同,部分不同; (C) 完全相同的; (D) 可能相同,也可能不同. C 映射与函数 与它的反函数 在同一坐标系中的图象是( ). 映射与函数 4. 反函数与复合函数 (2) 复合函数 (compound function ) 定义 设函数 的定义域是 函数 有定义, 且 则由下式 确定的函数 称为由函数 构成的 复合函数. 记作 即 它的定义域为 中间变量 (1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数; (2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 注 因为 的值域 不能构成复合函数. 不能包含于 的定义域 映射与函数 之中. (3) 反过来, 一个复杂的函数根据需要也可以 分解为若干简单函数的复合. 复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边, 切不可漏层. 映射与函数 如 都是中间变量. 复合函数的定义域是 即 而不是 的定义域 剥皮法 例 解 故定义域为 映射与函数 求复合函数的定义域, 的值要落在外边函数的定义域内. 注意保证套在里边的函数 将两个或两个以上函数进行复合是本节的难点, 根据函数的特点分别讲几种复合的方法. (1) 代入法 将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代, 这种构成复合函数的方法, 法, 称为代入 该法适用于初等函数的复合. 例 设 求 解 映射与函数 映射与函数 由以上两式可推测: 由数学归纳法可证明上式成立. (2) 分析法 及中间变量的定义域进行 抓住最外层函数定义域的各区间段, 结合 该法适用于初等函数与分段函数或分段函 数之间的复合. 映射与函数 中间变量的表达式 分析. 例 例 解 映射与函数 综上所述 映射与函数 映射与函数 5. 函数的运算 设函数 的定义域分别为 则可定义这两个函数的下列运算: 和(差) 积 商 且 线性组合 为实数, 1) 幂函数(power function) 定义域与 的取值有关. 6. 初等函数(elementary function) (basic elementary function) 映射与函数 (1) 基本初等函数 初等数学,就其总体来说是 进入变量的数学 —— 微积分. 映射与函数 “常量的数学”, 从现在开始, 映射与函数 定义 设数集 则称映射 为定义在D上的函数, 通常简记为 自变量 因变量 定义域(domain) 定义中, 按对应法则f , 总有唯一 确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的 函数值, 记作 函数关系 函数值 全体组成的集合称为 range 记作 即 函数f 的值域, 2. 函数概念 ), ( x f y = , D x ? , D x ? 如果对 ), ( x f y = 映射与函数 注 含义的区别. 自变量x和因变量y之间的对应法则; 与自变量x对应的函数值; 定义在D上的函数, 应理解为由它所确定的函数f. (1) (2) 函数的记