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指数函数、对数函数讲义 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设f(x)=log2,F(x)=+f(x). (1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n); (3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解. ●案例探究 ［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点. (1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标. (1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x11,x21,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率：k1=, OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上. (2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x11,∴x1=,则点A的坐标为(，log8). ［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形. (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； (2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； (3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由. 命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目. 知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题. 解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000(). (2)∵函数y=2000()x(0a10)递减，∴对每个自然数n,有bnbn+1bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即()2+()－10,解得a－5(1+)或a5(－1).∴5(－1)a10. (3)∵5(－1)a10,∴a=7 ∴bn=2000().数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，BnBn－1,当bn1时，Bn≤Bn－1,因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+11,由bn=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20. ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( ) A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2) B.g(x)=［lg(10x+1)+x］,h(x)= ［lg(10x+1)－x］ C.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－ D.g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+ 2.(★★★★)当a1时，函