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第九章 一、引例 2. 求平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理 三、二重积分的性质 例1 比较下列积分的大小: 例2 判断积分 第二节 二重积分计算法 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 4. 证明: 作业 其中D 为 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有 又 D 的面积为 1 , 故结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * 数理系 Department of mathematics physics 高等数学 第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分 第九章 解法: 类似定积分“四步法则” 1. 求曲顶柱体的体积 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母 线平行于 z 轴的柱面。 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 二重积分的概念与性质 1) 对区域D 作任意分划——“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2) “常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 (证明略) 定理1. 在D上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 有界闭区域 D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或在 连续 , 二重积分的几何意义 当 时， 曲顶柱体体积 当 符号不定时， 各部分曲顶柱体体积的“代数和” ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于 则 5. 若在D上 6. 设 D 的面积为? , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理) 以上性质的证明自学 在闭区域D ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 上连续, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的正负号. 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 估计下列积分之值 X－型积分区域 Y－型积分区域 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 设积分区域D为X－型 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 计算 ， D由直线