..线性方程组的解.pptVIP

* 线性方程组的解 知识点回顾：克拉默法则 设 结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有唯一的. 结论 1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 设 用克拉默法则解线性方程组的两个条件： (1) 方程个数等于未知量个数； (2) 系数行列式不等于零. 线性方程组的解受哪些因素的影响？ 结论 2 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的. 结论 2′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 一、线性方程组的表达式 一般形式 向量方程的形式 方程组可简化为 AX = b ． 增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式 二、线性方程组的解的判定 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一定相等！ 定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 例：求解非齐次线性方程组 解： R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解． 解（续）： 即得与原方程组同解的方程组 令 x3 做自由变量，则 方程组的通解可表示为 ． 例：求解非齐次线性方程组 解： R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解． 例：求解齐次线性方程组 提问：为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形 矩阵？ 答：因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组 的解的情况． 设有 n 个未知数 m 个方程的非齐次线性方程组 问题1：方程组是否有非零解？ 问题2：若方程组有非零解，则如何掌握解的全体？ m、n 不一定相等！ 定理：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有唯一零解的充分必要条件是 R(A) = n ； 有非零解的充分必要条件是 R(A) n ． 例：设有线性方程组 问 l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无 限多个解？并在有无限多解时求其通解． 定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵． 附注： 对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换： 如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情况另作讨论． *