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* 函数的最大值与最小值 一、复习引入 ①如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)0, 右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值. 1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: 二、新课—函数的最值 x X2 o a X3 b x1 y 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？ 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 三、例题选讲 例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 解: 令 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, 的变化情况如下表: 13 ↗ 4 ↘ 5 ↗ 4 ↘ 13 y + 0 - 0 + 0 - y’ 2 (1,2) 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 (-2,-1) -2 x 从上表可知,最大值是13,最小值是4. 一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较. 延伸1:设 ,函数 的最 大值为1,最小值为 ,求常数a,b. 解:令 得x=0或a. 当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表: 1-3a/2+b ↗ -a3/2+b ↘ b ↗ -1-3a/2+b f(x) + 0 - 0 + f’(x) 1 (a,1) a (0,a) 0 (-1,0) -1 x 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0) f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小. f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1. 又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 延伸2:设p1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域. 说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值. 解: 令 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2. 而 f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2p-1. 所以f(x)的最小值为 ,最大值为1. 从而