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第三节 复数域数学模型—传递函数 本节内容 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为： (2)例2 求阶跃函数 的拉氏变换。 (4)终值定理 a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其象函数应乘以 。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。 若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例2：求 的拉氏反变换。 比较系数法 留数法 线性定常系统微分方程的一般形式为： c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则在零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，由微分性质得到系统传递函数为： 在零初始条件下求系统或环节的传递函数，由拉氏变换的微分性质可知，只需要将微分方程中变量的各阶导数用s的相应幂次代替就行了，因此从微分方程式求传递函数非常容易。经过变换后，我们把一个复杂的微分方程式变换成了一个简单的代数方程。 2.传递函数的性质 （1）对应性：传递函数与微分方程一一对应。如果将 置换，传递函数 微分方程 （2）固有性：传递函数表征了系统本身的动态特性。传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。 （3）局限性：只反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。 （4）唯一性。 解：已求得网络的微分方程形式为 解：已求得网络的微分方程形式为 例3 一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试求传递函数Y(s)/F(s)。 解：已求得系统的微分方程形式为 例4 测得某系统在零初始条件下单位脉冲输入作用时的输出响应为 电气网络的运算阻抗与传递函数 (重要) 运算(复)阻抗 作业： 2-1 2-2 2-4 2-7 为系统稳态增益（放大系数） 返回 尾1形式 因式分解 时间常数形式 典型环节形式 各项提取an 各项提取bm 传递函数的第三种表达形式 稳态增益K和根轨迹增益K*的定义及关系： 这两个参数是重要的调试参数。 称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为 系统的阶次。 D(s)=0称为系统的特征方程。 分母 传递函数的三大表达形式： 传递函数的零极点分布图 传函 的零极点分布图 （5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数，两者有一一对应的关系。 证明： 所以 所以 传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数 （6）同形性：G(s)虽描述了输出输入间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。物理性质截然不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。 （7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。 （8）有理性：传递函数为有理真分式函数。即m小于等于n。 静一静，想一想： 1. 我们已经前进一步了，我们将一般形式的微分方程变换成了传递函数，并且有了许多表达形式； 2.我们把研究对象的微积分运算形式变成了代数运算形式，简化了运算，降低了工作的难度； 3.更大的收获是在传递函数代数和几何形式下，想象力增强了。我们可以对系统采取更多的方法进行分析和研究了。 四 传递函数的建立 方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法： （1）列写元件或系统的微分方程； （2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换； （3）取输出与输入的拉氏变换之比。 例1 对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。 两边进行拉氏变换，可得 取输出与输入的拉氏变换之比 例2 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。 两边进行拉氏变换，可得 取输出与输入的拉氏变换之比 f 两边进行拉氏变换，可得 取输出与输入的拉氏变换之比 方法2：利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数。 （1）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应； （2）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。 传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。反之，系统单位脉冲响应的拉氏变换是系统的传递函数，两者有一一对应的关系。 求系统的传递函数。 解:对单位脉冲响应作拉氏反变换即得系统的传递函数 电阻 电容 电感 对元件的电压电流关系式两边取拉氏变换得到