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第四章 不定积分 复习:求导公式 练习：P81 1.(1) (2)(3) 2.(1)(2) 作业：P81 1.（4） 2.（3）（4） 4. 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 例8 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 解（二） 类似地可推出 例9 求 解 令 例10 求 解 令 例11 求 解 令 说明 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 与 定理8.5 若 可导,不定积分 存在,则 也存在,并有 分部积分公式 二、分部积分法 例12 求 解 令 则 由公式得: 例13 求 和 解 由此得到 解此方程组,求得 三、小结 第一类换元公式（凑微分法） 第二类积分换元公式 分部积分公式 第三节 有理函数和可化为 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 三、某些无理根式的不定积分 一、有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为： 其中 为非负整数， 与 都是常数，且 ，则称它为真分式； 若 若 则称它为假分式。 部分分式分解的步骤： 第一步 对分母 在实系数内作标准分解： 其中 均为自然数，而且 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式： 对于每个形如， 的因式，它所对应的部分分式是 对于每个形如 ，则分解后为 的因式，其中 第三步 确定待定系数 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 例2 求积分 解 令 * * 1. 常数和基本初等函数的导数 一、原函数与不定积分的定义 定义： 例 定理1（原函数存在定理）： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ I 使 如果函数 ) ( x f 在区间 内连续， 那么在区间 I 内存在可导函数 ) ( x F ， ，都有 ) ( ) ( x f x F =  . 定理 2 如果函数f(x)有原函数，那么它就有无穷多个原函数，并且任意两个原函数之间仅差一个常数。 　 （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 即： 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族. 4.1.4.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的切线斜率. 例1 求 例2 求 解 解 2 1 d. 1 + ò x x 例3 求 解 例13 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知 因此所求曲线的方程为 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 基本积分表 ? 是常数); 说明： 简写为 例4 求积分 解 根据积分公式（2） 定理3 　若函数与在区间上都存在原函数，为两个任意常数，则在上也存在原函数，且 （其中k1,k2不全为零） 注：线性法则的一般形式： 例1 求 例2 求 例３ 求 基本积分表(1) 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 三、 小结 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 第二节 换元积分法和分步积分法 一、换元积分法 二、分步积分法 问题1 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 一、换元积分法 在一般情况下： 设 则