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集合论习题解析——经典习题与考研习题 经典习题 一、集合基础 二、二元关系 三、函数 四、概念综合练习 考研习题 北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等 一、集合基础 1.1 ?与? 1.2 集合运算 1.3 幂集 1.1 ?与? 1 设A, B, C是任意3个集合，如果A?B, B ?C, 则A?C可能吗？ A?C常真吗？举例说明。 A?C可能 A={1}, B={{1}}, C={{1}, {{1}}} A?C不常真 A={1}, B={{1}}, C={{{1}}} 2 设A, B是任意2个集合， A? B与 A?B同时成立，这可能吗？ 可能 A={1}, B={{1}, 1}. 3 设A, B, C是集合，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例： 1) A?B, B?C ? A?C; 2) A?B, B?C ? A?C; 3) A?B, B?C ? A?C; 4) A?B, B?C ? A?C; 5) a?A, A?B ? a?B. 1）假 A={1}, B={2}, C={{2}} 2）假 A={1}, B={2}, C={{1}} 3）假 A={1}, B= {{1}}, C={{1}, 1} 4）假 A={1}, B={{1}, 1}，C={{1}, 2} 5）真 子集定义 4 设A, B, C是U的子集，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例： 1) A?B?A?B=B; 2) A?B?A?B=A; 3) A?B?A?B=A; 4) A?B?A?B=B; 5) A?B?A?(B-A)=B; 6) B?A?(A-B)?B=A; 1）假， A=B时不成立 /* ?与?不同*/ 分析： I) A?B?A?B=B： 因为B?A?B；对于任意x?A?B，如果x?A, 因为A?B, 所以x?B, 则对任意的x?A?B， x?B成立。所以A?B=B。 II) A=B A?B=B，但A?B不成立。 2）假， A={1}，B={1，2}，不成立； 3）假， A=B时不成立； 4）假， A={1}，B={1，2}，不成立； 5）假， A=B时不成立 6）假， A={1，2}，B={1}，不成立； 1.2 集合运算 5 设A, B, C是任意3个集合， （1）A?B=A?C，则B=C吗？ （2）A?B=A?C，则B=C吗？ （3） A?B=A?C且A?B=A?C，则B=C吗？ （1）假 A={1, 2}, B={1}, C={2} （2）假 A={1}, B={1, 2}, C={1, 3} （3）真 /*基本法、反证法证明*/ 设x?B，假设x?C。因为x?B，所以x?A?B；因为A?B=A?C，所以x?A?C；因为x?C，所以x?A；又因为x?B，所以x? A?B；因为A?B=A?C ，所以x?A?C；则x?C，这与x?C矛盾。所以B=C。 6 设A, B是任意2个集合， （1）若A-B=B，则A与B有何关系？ （2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？ （3）若A?B=A?B，则A与B有何关系？ （4）若A?B=A，则A与B有何关系？ /*用文氏图辅助*/ 证明：(1)由A-B=B，可得出A=B=?。 (2)由A-B=B-A，可导出A=B。 (3) A=B (4) B=? 7 给出下列命题成立的充分必要条件 （1）(A-B)?(A-C)=A （2）(A-B)?(A-C)=? （3）(A-B)?(A-C)=? （4）(A-B)?(A-C)=? /*等式推导*/ 解：(1) 1) ?：设(A-B)?(A-C)=A，对任意的x，x?A，则x?A-B 或 x?A-C；则有 2）?：设A?B?C=?，对任意的x，x?A，则x?B或x?C，则有 对任意的x，x?(A-B)?(A-C)，则x?A-B或 x?A-C，则有 （2） (A-B)?(A-C)=? (A-B)=?或(A-C)=? A?B并且A?C A?B?C 所以，充要条件为A?B?C。 （3） 1) 设(A-B)?(A-C)=?，对任意的x，x?A，x?(A-B)并且x?(A-C)；所以x?B-A或x?C-A；则有x?B或x?C；得x?B?C。 所以A?B?C。 2) A?B?C ? A?B或A?C；所以A-B=?或A-C=?。得(A-B)?(A-C)=?。 从而， (A-B)?(A-C)=?? A?B?