列组合与二项式定理.doc

排列组合与二项式定理 【基本概念与知识点】 1.加法原理 如果完成一件事有n类办法,只要选择其中一类办法中的任何一种方法,就可以完成这件事;若第一类办法中有种不同的方法,第二类办法中有种不同的方法……第n类办法中有种不同的办法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 2.乘法原理 如果完成一件事,必须依次连续地完成n个步骤,这件事才能完成;若完成第一个步骤有种不同的方法,完成第二个步骤有种不同的方法……完成第n个步骤有种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法. 3.排列 (1)排列的定义:从n个不同元素中,任意取出个元素,按照一定顺序排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数:从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有排列的种数,称为从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数,记作时, 称为全排列. (3)排列种数公式: ①规定 ② ③ ④. 4.组合 (1)组合的定义:从n个不同元素中,任意取出个元素并为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数: 从n个不同元素中,取出个元素的所有组合的个数,称为从n个不同元素中,取出m个不同元素的一个组合数,记作 ①规定: ② ②中所反映出的排列与组合数的关系,也可以表示为 (3)组合数的性质: ① ② (4)常用组合恒等式: ① ② ③ 由②、③两恒等式说明，①式中奇数项和与偶数项和的值相等均为. ④ ⑤ ⑥ 5.元素可重复的排列 从n个不同元素中,每次取出m个元素,其中允许元素重复出现,再按照一定的顺序排成一列,那么第一,第二,…第m位上选取的方法都是n个,所以从n个不同元素中,每次取出m个可重复元素的排列种数是nm个. N个元素中若有m个相同元素,则这n个元素的全排列的种数是 6.二项式定理 二项式定理是多项式乘幂定理的最简单的形式,主要研究的各元素a、b、n与其展开式中各项系数、指数之间的关系,以及展开式本身所具有的性质,我们可以用排列与组合的方法,真接推导出展开式的任何一项或整体 其中第称为通项.可以作为公式来使用. 式(1)是一个恒等式,即对任何a,b的取值,等式恒成立.在式(1)中,若令a=b=1则得到 、、…称为展开式中的二项式系数,式(2)是个重要公式,即二项式系数之和等于2n.二项式系数还有如下性质: 距首末等距离的两项的二项式系数相等,或称二项式系数具“对称性”; 二项式系数的奇数项和等于偶数项和; n为偶数时中项值最大; n为奇数时双中项等值且最大. 充分性判断题解题技巧 【充分条件基本概念】 1.定义 对两个命题A和B而言，若由命题A成立，肯定可以推出命题B也成立（即为真命题），则称命题A是命题B成立的充分条件。 2.条件与结论 两个数学命题中，通常会有“条件”与“结论”之分，若由“条件命题”的成立，肯定可以推出“结论命题”也成立，则称“条件”充分.若由“条件命题”不一定能推出(或不能推出)“结论命题”成立,则称“条件”不充分. 例如:不等式能成立. (1) (2) (3) (4) (4) 此例中,题干“能成立”,这个命题是“结论”,下面分别给出了5个命题都是不同的“条件”.现在我们可以把它们按充分与否分为两类:条件(1)、(3)、(5)充分.条件(2)、(4)不充分. 3.知识点评述 1.充分条件的判断:从给定的条件出发去分析,在此条件下,结论是否一定成立,若是,则条件充分,若否,则条件不充分.我们在做充分性判断的试题时,不可从“结论”入手去求解!那样只能得出“条件”对“结论”的“必要性”,而与充分性判断相背离.如:在此例中,由结论命题: 能成立,可解得.这只证明条件(5)是必要的.事实上,条件(5)是结论能成立的充分必要条件,才“歪打正着”被你找到了一个充分条件. 【充分条件基本概念】 本书中,所有充分性判断题的A、B、C、D、E五个选项所规定的含义,均以下列呈述为准,即: (A)条件(1)充分,但条件(2)不充分; (B)条件(2)充分,但条件(1)不充分; (C)条件(1)和(2)充分单独都不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分; (D)条件(1)充分,条件(2)也充分; (E)条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和(2)联合起来也不充分. 上述5个选项,把条件(1)和(2)以及两条件联立起来(同时都满足即的充分性的所有情况都包括了,但其中“联合”不是数学名词,没有准确的定义,改为“联立”与原题意比较贴切.比如:不等式成立.) (1) (2) 分析 由题干 解上述不等式,得 显然(1)、(2)单独都不满足 即立(1)和(2)得出,从