总结第3章线性方程组数值解法.ppt

第3章 线性代数计算方法 §1 高斯消去法 §2 高斯―约当消去法 §3 解实三对角线性方程组的追赶法 §4 矩阵的三角分解 §5 行列式和逆矩阵的计算 §6 迭代法 ? §7 迭代法的收敛性 §1 高斯消去法 §1 高斯消去法 一、顺序消去法 解方程组 作②-①消去②中的x1,作③-①×4消去③中的x1,则方程组(3―6)化为 从方程组(3―6“)的方程③解出x3,将所得的结果代入方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为 2、顺序高斯消去法的计算步骤： 在计算机上实现时,我们常把方程组右端的常数项排于系数矩阵的第n+1列， 1）消元过程 对于k=1,2,…,n-1列,若按顺序有某一ark≠0,r≥k,则交换k与r行,然后计算  3、计算量 二、主元素消去法 1.列主元素消去法 所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。 取四位有效数字计算。 解：第一列消元时，②中-18为主元,交换②和①得 ②+①×12/18,③+①×1/18得 ③+②×1/1.167得 列主元素消去法的计算过程: (1)消元过程。对于k=1,2,…,n-1进行下述运算: ①选主元,确定r,使得 若ark=0,说明系数矩阵为奇异,则停止计算；否则进行下一步。 ②交换A的r、k两行 ③对i=k+1,k+2,…,n,j=k+1,k+2,…,n+1计算 2. 全主元素消去法 所谓全主元素消去法,就是每步消元时选取系数子矩阵中绝对值最大的元素作主元。 说明：若矩阵第i列与第j列对调,则未知数xi与xj也相应地对调了,xi的结果实质上为xj的结果。 例2 用全主元素消去法求解方程组 再全选主元,主元为2.333,交换x2和x3所在的两列,同时改变两未知数的排列号得 全主元素消去法的计算过程: (1)消元过程。对k=1,2,…,n-1进行下列运算: §2 高斯―约当消去法 前面所述的消去法均要进行两个过程,即消元过程和回代过程。但对消元过程稍加改变可以把方程组(3―1)化为对角形 §3 解实三对角线性方程组的追赶法 §4 矩阵的三角分解 ? 对于线性方程组，若其系数矩阵A能够分解成两个三角形矩阵相乘,譬如, A=LU L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,则求解方程组(3―1)就化为求解 LUx=b 1.克劳特分解方法 设A为n×n阶非奇异矩阵,且各阶主子矩阵为非奇异,则矩阵A的克劳特分解为 A=LU 其中 这样,L、U中的元素都已求出。计算L的各列与U的各行的次序如下图所示 。 克劳特分解求解线性方程组的计算过程: ① LU分解过程:对于k=1,2,…,n依次计算 例4 用克劳特分解方法求解下列方程组 利用矩阵乘法可得到 这样原方程组就化为依次求下列两个三角形方程组 2. 杜利特尔分解方法 杜利特尔分解方法是令A=LU 这里 例5 用杜利特尔分解方法求解下列方程组的解: §5 行列式和逆矩阵的计算 5.1 行列式的计算 1. 高斯消去法 2. LU分解法 ①克劳特分解法: detA=detL·detU=detL=l11l22…lnn ②杜利特尔分解法: detA=detL·detU=detU=u11u22…unn ③乔累斯基分解法: 这里A为正定矩阵。 detA=detL·detLT=l211l222…l2nn或者 detA=detL·detD·detLT=detD=d1d2…dn 5.2逆矩阵的计算 例7 设 先对第一列消元,将a11化为1,a21、a31化为0,有