数学必修2第二章2.1空间点线面位置关系.ppt

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)点、线、面的表示 (2)点、线、面之间的位置关系的表示 用集合中的关系符号 元素与集合关系： 集合与集合关系： 4.点线共面问题 P51 5 证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面. 已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B. 求证：直线a，b，c共面. 证明： 因为a//b， 所以直线a，b确定一个平面? .（推论3） 因为A∈a，B∈b，所以A∈?，B∈?. 又因为A∈c，B∈c.故AB?? .（公理1） 因此直线a，b，c共面. 4.点线共面问题 例2 已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面. 已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B, c∩l=C. 求证：直线l与a，b，c共面. 证明： ∵a//b， ∴直线a，b确定一个平面?.（推论3） ∵ l ∩a=A， l ∩b=B，∴ A∈?，B∈?. 又A∈l，B∈l，故l ??. 同理，直线b，c确定一个平面?，且l ?? . ∴平面?与?都过两相交直线b，l. 又∵两相交直线确定一个唯一的平面. ∴?与?重合. 故l与a，b，c共面. 证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 4.点线共面问题 练 已知a ??，b ??，a∩b=A，P∈b，PQ//a . 求证：PQ ?? . 4.点线共面问题 (1)证明的主要依据是公理3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上. (2)证明的常用方法： ①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点）； ③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题） 5.证明三点共线、三线共点的问题 例1 已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R.求证：P、Q、R共线. B A Q R C P 证明： 同理Q、R也为公共点， 所以P、Q、R共线. 要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点. 5.证明三点共线、三线共点的问题 P53 3 空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点. 分析： 已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线. 而BD是面ABD和面CBD的交线. 所以往证K∈面ABD∩面CBD. 而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD. 同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD. 5.证明三点共线、三线共点的问题 小结： 空间点、线、面的位置关系 平面的基本性质（四个公理） 证明直线平行的常用方法 点线共面，三线共点，三点共线问题的证明 作业：P51 5、6 P53 B组2、3 P78 3、4、8 精讲精练： P18 9、8 “见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法． P78 4,5 E F G (2) 立体几何中求解平面的角度边长面积等问题时，注意重新画出图形，结合几何体找出边角关系并利用平面图形性质求解问题. back 例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题） 精讲精练P2 4（正方体的截面形状的研究） back 注意：该六边形必有分别平行的边，且可以是正六边形 六边形 注意：该五边形必有两组分别平行的边，且不可能是正五边形 五边形 梯 形 不可能是直角梯形 正 方 形 长 方 形 平 行 四 边 形 四边形 等 边 三 角 形 等 腰 三 角 形 锐 角 三 角 形 三角形 特殊情形 形状 公理1--3考察 观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？ 长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等. 空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题. 1.平面的基本知识 (1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，即为不加定义的原始概念. (2)平面的基本特征是无限延展性. 平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的. 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果. 思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么? 不能.