极限存在准则 两个重要极限公式幻灯片.ppt

第六节 极限存在准则 两个重要极限 注 内容小结 返回 上页 下页 目录 第一章 （Existence criterion for limits Two important limits） 二、两个重要极限 一、极限存在的两个准则 三、内容小结 1. 单调有界准则 数列 单调增加 单调减少 准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限 说 明: (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛． (2) 利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足 数列单调和有界这两个条件． (3) 准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法． 例如，数列 ，虽然有界但不单调； ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散． 数列 (4) 对于准则I， 函数极限根据自变量的不同变化过程 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如， 准则I′ 设函数 在点 的某个左邻域内单调 在 的左极限 必存在． 并且有界，则 作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限： 首先，证 是单调的． ＝ ＝ 所以，数列 是单调增加的． 显然， 单调性的证明可证得数列 是单调增加的．设数列 由于数列 是单调增加的， 所以数列 是单调减少的. 又 其次，证 有界． 类似于 ，则 则 . 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是 收敛的. 通常用字母 来表示这个极限，即 也可以证明，当 取实数而趋于 或 时，函数 的极限都存在且都等于 ，即 利用变量代换，可得更一般的形式 例1 解: 例2 求 解: 2. 夹逼准则 准则II 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 我们可将准则II推广到函数的情形： 准则II′ 且 注意: 准则II和准则II′统称为夹逼准则. . , 的极限是容易求的 与 并且 与 关键是构造出 利用夹逼准则求极限 例3 解： 由夹逼准则得 解: 利用夹逼准则 . 且 由 思考题： ？ 1 2 1 1 lim 2 2 2 = ? ? ? è ? + + + + + + ￥ ? p p p n n n n n n L 夹逼准则不仅说明了极限存在， 而且给出了求极限的 方法． 下面利用它证明另一个重要的 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 极限公式： 当 时 例4 求 解: 例5 求 （课本例7） 解: 令 则 因此 原式 注: 利用变量代换，可得更一般的形式 例6 求 （课本 例5） 解: 例7 求 （补充题） 解: 1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2. 两个重要极限 或 注: 代表相同的表达式 课后练习 习 题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （2）（4）（6） 3（3） 思考与练习 1. 填空题 ( 1～4 ) 解： 原式 = 2. 求 3. 证明 证明： 对任一 ，有 ，则当 时，有 于是, （1）当 时， 由夹逼准则得 （2）当 时， 同样有 * * * * 返回 上页 下页 目录