2002考研数学一试题及答案解析.doc

2002年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)= . (2)已知函数由方程确定,则= . (3)微分方程满足初始条件的特解是 . (4)已知实二次型经正交变换可化成标准型,则= . (5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则＝ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数的下面4条性质: ①在点处连续; ②在点处的两个偏导数连续; ③在点处可微; ④在点处的两个偏导数存在． 若用“”表示可由性质推出性质,则有 (A) ②③①. (B) ③②①. (C) ③④①. (D) ③①④. (2)设,且,则级数 (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. (3)设函数在内有界且可导,则 (A) 当时,必有. (B) 当存在时,必有. (C) 当时,必有. (D) 当存在时,必有. (4)设有三张不同平面的方程,,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则 (A) ＋必为某一随机变量的概率密度. (B) 必为某一随机变量的概率密度. (C) ＋必为某一随机变量的分布函数. (D) 必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分6分) 设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若在时是比高阶的无穷小,试确定的值. 四、(本题满分7分) 已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限. 五、(本题满分7分) 计算二重积分,其中. 六、(本题满分8分) 设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(),终点为().记 (1)证明曲线积分与路径无关; (2)当时,求的值. 七、(本题满分7分) (1)验证函数满足微分方程; (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数. 八、(本题满分7分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为 ,小山的高度函数为. (1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 九、(本题满分6分) 已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,,如果,求线性方程组的通解. 十、(本题满分8分) 设为同阶方阵, (1)若相似,证明的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分7分) 设维随机变量的概率密度为 对独立地重复观察４次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望. 十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为 0 1 2 3 其中是未知参数,利用总体的如下样本值 求的矩估计值和最大似然估计值. 2002年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式 (2)【分析】 方程两边对两次求导得 ① ② 以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得 (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令(以为自变量),则 代入方程得 ,即(或,但其不满足初始条件). 分离变量得 积分得 即(对应); 由时得于是 积分得. 又由得所求特解为 (4)【分析】 因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值. 又因,故 (5)【分析】 设事件表示“二次方程无实根”,则 依题意,有 而 即 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A). (2)【分析】 由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性. 按定义考察部分和 原级数收敛. 再考察取绝对值后的级数.注意 发散发散.因此选(C). (3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理, (当时,,因为);但这与矛盾 (4)【分析】 因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 (C)中三个平面没