2013和2014高考立体几何大题汇总.doc

2013、14年立体几何高考大题汇编 ．（2013江西（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3 (1) 证明:BE⊥平面BB1C1C; (2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离 【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则 在 在,故 由 (2) , 同理, 因此.设点B1到平面的距离为d,则 ,从而 ．（2013重庆（理））如图,四棱锥中,,,为的中点,. (1)求的长; (2)求二面角的正弦值. 【答案】 ．（2013浙江（理））如图,在四面体中,平面,.是的中点, 是的中点,点在线段上,且. (1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小. 【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以 , 在中,,所以在中, ,所以在中 ; ．（2013上海春季高考）如图,在正三棱锥中,,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积. 【答案】[解]因为 . 所以为异面直线与.所成的角,即=. 在Rt中,, 从而, 因此该三棱柱的体积为. ．（2013上海（理））如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离. 【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,,故 所以,,即直线BC1到平面D1AC的距离为. ．（2013广东（理））如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中. (Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. (Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1可知,为中点,故,从而 所以,所以二面角的平面角的余弦值为. 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则,, 所以, 设为平面的法向量,则 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值为. 第III部分 26.【2014年陕西卷（理17）】（本小题满分12分） 四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分 别交四面体的棱于点. （I）证明：四边形是矩形； （II）求直线与平面夹角的正弦值. 解 （I）由该四面体的三视图可知， BDDC, BDAD , ADDC, BD=DC=2，AD = 1. 由题设，BC//平面EFGH, 平面EFGH平面BDC=FG, 平面EFGH平面ABC=EH, BC// FG, BC//EH, FG//EH. 同理EF//AD,HG//AD, EF//HG, 四边形EFGH是平行四边形。 又 ADDC , ADBD, AD平面BDC， ADBC, EFFG, 四边形EFGH是矩形. （II）解法一 如图，以D为坐标原点 建立空间直角坐标系，则D（0,0,0）,A(0,0,1), B(2,0,0),C(0,2,0), DA =(0,0,1), BC =(-2,2,0), BA =(-2 , 0, 1). 设平面EFGH的法向量n=（x , y , z）， EF//AD,FG//BC, n DA =0, n BC =0， 得取n=（1,1,0）. sin= 解法二 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），A（0,0,1），B（2,0,0）,C (0,2,0). E,F(1,0,0),G(0,1,0). 设平面EFGH的法向量n=（x，y，z）， 则 得取n=（1,1,0）， 27.【2014年重庆卷（理19）】如下图，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面， ，为上一点，且. （1）求的长； （2）求二面角的正弦值。 解：（1）设