2013年全国各地高考试题分类汇编(数列).doc

2013年全国各地高考试题汇编 (数列) 1.（本小题满分12分）(2013湖北.理) 已知等比数列满足： （I）求数列的通项公式； （II）是否存在正整数使得若存在,求的最小值;若不存在，说明理由. 解(1) 或 (2)若,则,故是首项为,公比为的等比数列. 从而 若,则,故是首项为,公比为的等比数列. 从而故 综上,对任何正整数,总有 故不存在正整数,使得成立. 2．（本小题满分16分）(2013江苏卷) 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记， ，其中为实数． （1）若，且成等比数列，证明：（）； （2）若是等差数列，证明：． 证：（1）若，则，，． 当成等比数列，， 即：，得：，又，故． 由此：，，． 故：（）． （2）， ． (※) 若是等差数列，则型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：，即，而， 故． 经检验，当时是等差数列． 3.(本题满分14分) 在公差为d的等差数列中，已知，且a1，2a2+2，5a3成等比数列. （Ⅰ）求d，； （Ⅱ) 若d0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| . a1·5a3＝(2a2+2)2 即d2－3d－4=0 故d=－1或d=4 所以an＝－n+11,n∈N*或an＝4n+6,n∈N* （II）设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0，由(I)得d=－1, an＝－n+11。则 当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝Sn＝ 当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝－Sn +2S11＝+110 综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝ 4. (本小题满分12分) (2013陕西.理) 设是公比为的等比数列. (Ⅰ) 推导的前项和公式; (Ⅱ) 设, 证明数列不是等比数列. 【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。 ① ②. 上面两式错位相减: 。 ③综上， (Ⅱ) (用反证法) 设的等比数列, 假设数列①当使得成立，则不是等比数列。 ②当成立，则 。这与题目条件q≠1矛盾。 ③综上两种情况，假设数列时, 数列. (本小题满分 设Sn表示的前项和 (Ⅰ) 若为等差数列 推导的计算公式 (Ⅱ) 若, , 有是否为等比数列(Ⅰ) ; (Ⅱ) 是首项,公比的等比数列。 【解析】(Ⅰ) 设公差为,则 . (Ⅱ) 。 . 所以,是首项,公比的等比数列。 6.（本小题满分13分）(2013安徽.理) 设函数，证明： （Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足； （Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足 证明(1) 对每个，当时,, 故在上单调递增. 由于,当时,故 又 所以存在唯一的,满足 (2)当时,, 故 由在上单调递增知,,故为单调递减数列. 从而对任意,. 对任意,由于 …………① ……② ①-②并移项,利用得 因此对任意的,都有 7.（本小题满分13分）(2013安徽.文) 设数列满足,且对任意，函数 ,满足 (Ⅰ)求数列的通项公式； （Ⅱ）若求数列的前项和. 解(1)依题设可得,, 对任意, 故数列是等差数列. 由解得,所以. (2)由 8.（本小题满分14分）(2013广东.理) 设数列的前项和为，已知，.（1）求的值 （2）求数列的通项公式 (3)证明：对一切正整数，有. 解(Ⅰ) 依题意,,又,所以； (Ⅱ) 当时,, 两式相减得 整理得,即,又 故数列是首项为,公差为的等差数列, 所以,所以. (Ⅲ) 当时,；当时,； 当时,,此时 综上,对一切正整数,有 . 9．（本小题满分13分是等比数列的前项和，，，成等差数列，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的 所有的集合；若不存在，说明理由． 解:(1)设数列的公比为,则,依题意得 故数列的通项公式为 (2)由(1)有 若存在正整数，使得,则 当为偶数时,,上式不成立. 当为奇数时, 综上,存在符合条件的正整数,且所有这样的的集合为 10．（本小题满分13分）(2013湖南文) 设为数列的前项和，已知 （Ⅰ）求，并求数列的通项公式 （Ⅱ）求数列的前项和. 解(1)令得 令,得 当时,由, 两式相减得 于是数列是首项为1,公比为2的等比数列. 因此数列的通项公式为. (2)由(1)知,.记数列的前项和为. 于是………① ………② ②-①得 11．（本小题满分12分）(2013江西.理) 正项数列的前项和满足： 求数列的通项公式； 令，数列的前项和为．证明：对于任意，都有. 解(1)由 由于是正项数列,所以. 于是时, 综上数列的通项公式为. (2)证明:由于 12.（本小题满分12分）(2013江西.文) 正项数列满足. 求数列的通项