2013年高考文科数学试题分类汇编：函数与导数.doc

2013年全国各省市高考文科数学 试题分类汇编：函数与导数 1.（2013年安徽卷文20题）（本小题满分13分） 设函数，其中，区间. （Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为； （Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值. 【解析】 （1）令 解得 的长度 （2） 则 由 （1），则 故关于在上单调递增，在上单调递减. 【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力. 2. （2013年北京卷文18题） (本小题共13分) 已知函数 （1）若曲线在点处与直线相切，求与的值。 （2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围。 3.（2013年福建卷文22题）（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数） （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； （2）求函数的极值； （3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值 本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分． 解：（Ⅰ）由，得． 又曲线在点处的切线平行于轴， 得，即，解得． （Ⅱ）， ①当时，，为上的增函数，所以函数无极值． ②当时，令，得，． ，；，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且极小值为，无极大值． 综上，当时，函数无极小值； 当，在处取得极小值，无极大值． （Ⅲ）当时， 令， 则直线：与曲线没有公共点， 等价于方程在上没有实数解． 假设，此时，， 又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故． 又时，，知方程在上没有实数解． 所以的最大值为． 解法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）当时，． 直线：与曲线没有公共点， 等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程： （*）在上没有实数解． ①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解． ②当时，方程（*）化为． 令，则有．令，得， 当变化时，的变化情况如下表： 当时，，同时当趋于时，趋于， 从而的取值范围为．所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．综上，得的最大值为． ． (1) 当时,求函数的单调区间； (2) 当时,求函数在上的最小值和最大值． 【解析】： (1)当时 ,在上单调递增.（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 （i，即时，，上单调递增，从而当时， 取得最小值 ,当时， 取得最大值. （ii，即时， 解得：,注意到, (注：可用韦达定理判断，,从而 的最小值, 的最值 时，的最小值,最值 时，对，都有，故 故，而 ， 所以 ，ks5u 【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知 时最小，时最大，只需证即可，避免分类讨论.本题第二问在求最大值，需要因式分解深的也正符合了高考年报的对中学教学的要求与初中课堂衔接．（本小题满分1分） （I）求； （II）若 6.（全国新课标二卷文21题）．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）的极值 （Ⅱ）当的切线的斜率为负数时，在轴上截距的取值范围 7. （2013年海南卷文20题）(本小题满分已知函数，曲线在点处切线方程为（Ⅰ）求的值（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值(本小题满分，，已知函数. （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数. （i）判断, ,是否成等比数列，并证明； （ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H. 若，求的取值范围. 9.（2013年湖南卷文21题）(本小题满分. （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0. 【答案】 （Ⅰ）. （Ⅱ）见下。 【解析】 (Ⅰ) . 所以，。 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x0时f(x) f(-x)即可。 。 。 （证毕） 10.（2013江苏卷文20题）(本小题满分设函数，，其中为实数. (1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围； (2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论. a 为 常数且a∈（0，1）. 当a=时，求f（f（））； 若x0满足f（f（x0））= x0,但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，证明函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2； 对于（2）中x1，x2，设A（x1,f（f（x1））），B（x2,f（f（x2）））,C(a2,0)，记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[,]上的最大值和最小值。 解：（1）当时，