函数及其表示讲义.doc

函数及其表示 一、映射 根据题意填空。 （1） （2） （3） （4） 映射概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应：A→B是集合A到集合B的映射。 如上图：________________是映射。 象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且∈A，∈B，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。 注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体； 对应关系有“方向”，强调从A到B； 集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心； 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”； 集合B中的元素在A中不一定有原象。 例1：设集合A＝N＋，B＝N＋，对应关系：x→y＝2x，则 （1）集合A中元素2所对应的象是______________。 （2）集合B中元素2所对对应的原象是__________。 变式练习：设：A→B是从集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，若：（x，y）→（x－y，x＋y） （1）求集合A中元素（－1，2）在集合B中对应的元素_______________。 （2）求集合B中元素（－1，2）在集合A中对应的元素_______________。 【解析】：（1）(－3，1) （2）(，) 二、函数 （一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：，∈A。 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域（集合）；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{｜∈A }叫做函数的值域（集合）。 定义域、值域与对应关系统称为函数的三要素。 例2：下面哪一个图形可以作为函数的图象（ ） A B C D 变式练习：设A＝{｜0≤≤2}，B＝{｜1≤≤2}，如下图，能表示从集合A到集合B的映射是（ ） 区间的概念：设，是两个实数，而且＜我们规定：（1）满足不等式≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[，]；（2）满足不等式＜＜的实数的集合叫做开区间，表示为(，)；（3）满足不等式≤＜或＜≤的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开和左开右闭区间。 定 义 符 号 定 义 名 称 符 号 数轴表示 （三）、函数的定义域：自变量的取值范围。 1、简单函数定义域的类型及求法： （1）分式函数中分母不等于零； （2）偶次根式函数被开方式大于或等于0； （3）一次函数、二次函数的定义域为R； （4）y＝ (＞0且≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R； （5）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。 2、对于抽象函数定义域的求法： （1）若已知函数的定义域为[，]，则复合函数的定义域由不等式≤ ≤求出； （2）若已知函数的定义域为[，]，则的定义域为在[，]上的值域。 例3：求下列函数的定义域。 （1）＝ （2）＝ （3）＝＋ （4）＝ （6）＝ 变式练习1：设A＝{︱＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。 变式练习3：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。 例4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值范围。 例5：（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x＋2)的定义域为______________。 （2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。 变式练习：（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。 （2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______。 例6：下列说法中正确的是( ) A：y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数 B：y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数 C：f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数 D：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数 （1）f(x)＝x 与g (x