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不等式与不等式组中考题复习导航
不等式与不等式组复习导航
一、要点回顾:
(一)不等式的概念与性质
1、不等式: 。
2、不等式的性质:(1) ;(2) ;
(3) 。
[注意]在不等式的两边都乘以(或除以)同一个实数时,一定要养成良好的习惯,就是先确定该数的属性(正数、零,负数),再判断不等号方向是否改变,不能像应用等式的性质那样随便,以防出错。
(二)不等式(组)的解、解集,解不等式(组)的概念
1、不等式(组)的解、解集:能使不等式(组)成立的 叫做这个不等式(组)的一个解;一个不等式的 ,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集; 几个不等式的解集的 ,叫做由它们所组成的不等式组的解集。
2、解不等式(组): 叫做解不等式(组)
(三)不等式(组)及解法
1、一元一次不等式:(1)概念:① ;② ;③ 。像这样的不等式叫做一元一次不等式。
类型
(设a>b) 口决 不等式组的解集 数轴表示 大大取大 x>a 小小取小 x<b 不大不小取中间 b<x<a 大大小小没有了 无解 (2) 解法:与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向一定要 。
2、一元一次不等式组:(1) 概念: 。
(2)解法:先 ;再 。
[注意]求不等式组的解集一般借助数轴较方便。
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集一般有四种类型:
注意:即这四个类型的解集口诀为:
大大取大(同大取大),小小取小(同小取小),不大不小取中间(小大大小中间找),大大小小没有了(大大小小解不了).
二、蕴含的数学思想
(一)类比的数学思想:类比是本章用得最多的数学思想方法,例如,学习一元一次不等式概念,就与一元一次方程的概念进行类比,解不等式与解方程进行类比,用一元一次不等式(组)解决实际问题与用方程(组)解决实际问题相类比。
(二)化归的数学思想:解方程与解不等式都是通过适当的式子变形,使未知数转化为已知,但两者的目标有所不同,前者要转化为的形式,后者则要转化为的形式.都运用了化归思想,根据等式或不等式的性质,对方程或不等式进行由繁至简的变形.注意解不等式中要将未知数的系数化为1时,应根据原来系数的正负确定不等号的选择.
(三)数形结合的数学思想:本章最典型的数形结合体现在用数轴表示不等式(组)的解集上,这种方法形象直观,在求不等式组的解集时显得尤为突出。用数轴表示解集,还沟通了数与形之间的联系,把数转化为形,使将“数与代数”的知识转化为“空间与图形”的知识成为可能,沟通了数学的两个知识领域,具有非常重要的意义。
(四)数学建模的思想方法:设未知数、列不等式(组)是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤,而正确地理解问题情境,分析其中的不等关系是设未知数、列不等式(组)的基础。我们要学会多种角度思考数量之间的大小关系,借助数轴等直观图形以及表格、式子等进行分析,寻找不等关系的数学化表达方式,检验不等式本身以及它的解的合理性。
三、考点例析:
考点1、不等式的基本性质
例1、(2007山东临沂课改)若,则下列式子:
①②;③;④中,正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
④是在不等式的两边同乘以,可得不正确,故选C.
温馨提示:不等式的基本性质是不等式的核心,特别要注意不等式的性质3的利用,不等号的方向要改变.
考点2、不等式解的表示方法
例2、(2007年福州)解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是( )
A. B. C. D.
析解:不等式(组)的解集在数轴上表示的形状是一条射线,小于向左画,大于向右画,无等号的画空心圆圈,有等号的画实心圆点,因此判断不等式的解集为.,故选D.
温馨提示:利用数轴表示不等式(组)的解,关键要熟知不等号的表示方法.尤其是空心和实心的区别.
考点3、不等式(组)解法步骤
例3、(2007山东威海课改)解不等式组,并把它的解集表示在数轴上:
解不等式①,得解不等式②,得.在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图:
原不等式组的解集是.并求其整数解的和.
分析:欲求整数解的和,就要求出它的整数解,而要求
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