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函数项级数与幂级数
第四讲 函数项级数与幂级数
【教学内容】
1. 函数项级数的概念;
2. 幂级数的收敛性及其运算。
【教学目的与要求
1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念;
2. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法;
3.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质, 会应用这些性质求和函数。
【教学重点与难点教学．所以收敛半径
．当时，发散；当时，由莱布尼兹判别法知，条件收敛；因此其收敛区间为．
（3）因为，所以收敛半径．当时， 发散；当时，条件收敛，因而其收敛区间为．
（4）因为所以收敛半径．当时，收敛；当，发散，因此收敛区间为．
三、幂级数的运算
设有两个幂级数
与
分别在区间及内收敛，且其和函数为与设，则在内有如下运算法则：
1．加法
．
2．数乘幂级数
设在区间内收敛于，则对非零常数，有
．
3．乘法运算
在内收敛，且和函数为 ．
4．逐项微分
设，收敛半径为，则对一切，都有
．
5．逐项积分
设，收敛半径为，则对一切，都有
．
性质4、5表明：收敛的幂级数逐项求导或逐项积分得到的新幂级数，其收敛半径不变．
例3 求的收敛区间．
解： 因为．所以，幂级数的收敛半径 ；类似地，可求得幂级数的收敛半径为． 又在处都发散，因此的收敛区间为．
例3 求幂级数 在区间 内的和函数．
解： 设和函数为，则 ，显然．于是
逐项求导,得
对上式从到积分,得 ，
于是,有 ， 从而
四、小结
1.函数项级数的收敛域、和函数的概念;
2.幂级数的收敛半径、收敛区间求法;
3.幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,及和函数的求法。
五、作业
练习： p167 习题 8.2 1, 2单号
作业: p167 习题 8.3: 1，2双号
预习： 第八章8.4 .
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