三角形全等的证明.ppt

三角形全等的判定 全等三角形的判定（四） SSS（边边边定理） 二：利用全等三角形证明线的垂直关系 三、利用全等三角形证明线段的和差问题 例题讲解： 例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于 点O，AD=AE，∠B=∠C。 求证：BD=CE 证明 ：在△ADC和△AEB中 ∠A=∠A（公共角） AD=AE（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ACD≌△ABE（AAS） ∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等） 又∵ AD=AE （ 已知） ∴BD=CE 巩固练习 如图，∠1=∠2，∠D=∠C 求证：AC=AD 证明：在△______和△_______中 　　　_______ （ ） 　　　_______ （ ） 　 　　　_______ （公共边） ∴△________ ≌ △_______（ ） ∴_________（全等三角形对应边相等） 1 2 ABD ABC ∠1=∠2 ∠D=∠C AB=AB ABD ABC AC=AD 已知 已知 AAS 定理的引入: A B C D 已知：AC=DE AB=DF BC=FE 求证：△ABC≌ △DFE E 思考 F 定理的引入: A B C D 已知：AC=DC AB=DB 求证：△ABC≌ △DBC 证明：连接AD， ∵AC=DC ∴∠CAD= ∠CDA 同理， ∠BAD= ∠BDA ∴ ∠BAC= ∠BDC ∵ AC=DC ∠A= ∠D AB=DB ∴△ABC≌ △DBC（SAS） A C D B 如图所示， △ABC≌△DBC ，那么边边边定理得证。 在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。 三角形的判定定理四 AC=DC AB=DB BC=BC △ABC≌ △DBC（SSS） 例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。 说出下列判断成立的理由： （1）△ABC≌△CDA （2）∠B=∠D A B C D 解（1）在△ABC和△CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS） （2）∵ △ABC≌△CDA ∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等） 练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。求证：∠A＝∠D。 证明：∵BE＝CF（已知） 即 BC＝EF 在△ABC和△DEF中 AB＝DE（已知） AC＝BF（已知） BC＝EF（已证） ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A＝∠D(全等三角形对应角相等） F A B E C D 小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。 ∴ BE+EC=CF+EC 例2，如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D 证明：连结AC, AB＝CD（已知） AC＝AC（公共边） BC＝AD（已知） ∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS） ∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等） A B C D 在△ABC和△ ADC中 问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？ 在原有条件下，还能推出什么结论？ 答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC A B C D 小结：四边形问题转化为三角形问题解决。 三角形是否全等 两角及其中一角的对边 两角及其夹边 两边及其中一边的对角 两边及其夹角 三边 三角 两角一边 两边一角 对应相等的元素 一定 （SAS） 不一定 一定 (ASA) 一定 (AAS) 不一定 一定 (SSS) 归纳：二个三角形全等的判定方法 五、综合练习题 全等三角形的应用 ：利用全等三角形证明线段（或角）相等 例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、 CD于E、F 求证：OE=OF 在△AOB和△COD中 OB=OD ∠AOB=∠COD OA=OC ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） 在△BOE和△DOF中 ∠B=∠D OB=OD ∠BOE=∠COF ∴△BOE≌△DOF （ASA）