中国民航大学名师高数课件微分方程习题课(1-2).ppt

2015.5 微分方程习题课(1-2) 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 例1. 求下列方程的通解 内容小结 例2. 求下列方程的通解: 例3. 练习题: 习题课 (二) 一、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 解答提示 特征根: P327 题4(2) 求解 例1. 求微分方程 例2. 例3. 备用题 2. (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. 解: (1) (02考研) * 一阶微分方程的 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 解答： 故为分离变量方程: 通解 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位， 化为 这是一阶线性方程 通解： 化简为 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 (题3只考虑方法及步骤) P326 题2 求以 为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 为贝努里方程 , 令 提示: 为全微分方程 , 通解 提示: 可化为贝努里方程 令 微分倒推公式 思考: 能否根据草图列方程? 练习题: P327 题 5 , 6 P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 二阶微分方程的 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 令 令 逐次积分求解 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 欧拉方程 P327 题2 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 提示: (6) 令 则方程变为 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 原方程通解为 特解设法有何变化 ? 提示: 令 则方程变为 积分得 利用 再解 并利用 定常数 思考 若问题改为求解 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 特征根 : 提示: 故通解为 满足条件 解满足 处连续且可微的解. 设特解 : 代入方程定 A, B, 得 得 处的衔接条件可知, 解满足 故所求解为 其通解: 定解问题的解: 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: 的解. 设函数 内具有连续二阶导 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知 (2003考研) 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解: 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 有特 而对