二部图应用.ppt

第9章 一些特殊的图 9.1 二部图 9.2 欧拉图 9.3 哈密顿图 9.4 平面图 9.1 二部图 二部图，完全二部图 匹配，极大匹配，最大匹配，匹配数 完备匹配，完美匹配 交替路径，可增广的交替路径 Hall定理（相异性条件） 二部图 1、 Kr, s 中，n = r + s, m = r·s ; 2、n 阶零图为二部图. 二部图的判别法 例9.1 下述各图哪些是二部图？ 全都是二部图 匹配 设G = V, E , 匹配(边独立集): 任2条边均不相邻的边子集； 极大匹配: 添加任一条边后都不再是匹配的匹 配； 最大匹配: 边数最多的匹配； 匹配数: 最大匹配中的边数, 记为?1 . 设M为G中一个匹配, vi 与vj 被M匹配: (vi , vj)?M; v为M 饱和点: M中有边与v关联; v为M 非饱和点: M中没有边与v关联; M 为完美匹配: G 的每个顶点都是M 饱和点. 设M为G中一个匹配, P为G中一条路径，若P是由M中的与E(G) ?M中的边交替组成的，则称P为G中关于M的交替路径，简称交替路径。若的两个端点都是M非饱和点，则称P为可增广的交替路径。 Hall定理 定理(Hall定理) 设二部图G = V1, V2, E中， |V1| ? |V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅 当V1中任意k 个顶点至少与V2中的k个顶点相邻 ( k = 1, 2, …, |V1| ). 由Hall定理不难证明, 例9.4 中(2)没有完备匹配. 定理 设二部图G = V1, V2, E中, 如果存在t ?1, 使得V1中每个顶点至少关联 t 条边, 而V2中每个 顶点至多关联 t 条边，则G中存在V1到V2的完备 匹配. Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 第二个定 理中的条件称为 t 条件. 满足 t 条件的二部图一 定满足相异性条件. 例9.6 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？ 解 令G = V1, V2, E , 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u, v) | u?V1, v?V2, v想去u}, 其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示. G 满足相异性条件，因而可给 出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案). 9.2 欧拉图 欧拉通路 欧拉回路 欧拉图 半欧拉图 哥尼斯堡七桥问题 欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路. 欧拉图 欧拉通路: 图中经过所有边一次且恰好一次的通路; 欧拉回路: 图中经过所有边一次且恰好一次的回路; 欧拉图: 有欧拉回路的图; 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 1、上述定义对无向图和有向图都适用; 2、规定平凡图为欧拉图; 3、欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路; 4、环不影响图的欧拉性. 例9.7 图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3)， (6)既不是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图? 欧拉图的判别法 定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度 顶点. 定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的 入度都等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇 度顶点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度 大1, 其余顶点的入度等于出度. 例9.8 哥尼斯堡七桥问题 例9.9 下面两个图都是欧拉图. 从A点出发, 如何一次成功地走出一条欧拉回路来？ 作业:P202 8 * * 定义 设无向图 G = V, E , 若能将V 分成V1 和 V2 (V1?V2=V, V1?V2=?), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记 为V1, V2, E, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G是 简单图, 且V1中每个顶点均与V2中每个顶点都相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr, s , 其中r = |V1|, s = |V2|. 注意: 定理 无向图G =