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2010年第2期 河北理科教学研究 问题讨论
顶点三角形性质面面观
云南省文山县一中 杨金梅 663000
云南省广南县一中 玉邴图 663300
定义 椭圆(或双曲线)上的一点和长轴(或 klk2 e 一1．
实轴)两珉 组成的三角形叫做顶点三角形． 如图2和图3，如果知道 PA或PB的斜
2 2 率，如何求 PA或PB的长度呢?
本文统一约定：A，B是椭 圆 + ：1
口一 O 不妨设 A为(一n，0)，故可得 PA 的方
2 2
．
(0bo)或双 曲线 一 ：l(口0，b
程为Y=k( +口)，即 = 一口(1)，将(1)
0)的长轴或实轴两顶点，P是椭圆或双 曲线
代人椭圆 + =1(口b0)，得 (口．j}+
上异于A，B外的任意一点． 口。 6
如图1，若 AB是圆0的直径，P是圆D 6)y一2abky=O(2)，由弦长公式得
上异于A，日外的任一点，则 kea·ken=一1． 厂——T
那么，对于椭圆和双曲 ．y l PA √1+索yl—y2l=
线结论又是如何呢?
如图2和图3，设 √(1+1)[()，l+y2)一4y1)，2](3)，将方程
P( ，Y)，而 A(一口， “ 一 (2)的两根之和与积代人 (3)，得 IPAI=
0)，B (0，0)，所 以 2ab2v／--~-+1
—
． 将(1)代入双曲线享一2=1
= · ：
图 1 (n0，bO)，得(b一a2k)Y一2abky=0
_， (1)，由椭圆方 (4)，将方程(4)两根之和与积代人(3)，得
IPAI：2ab2~／
=k2+1
程得 y2：b2(2 一 J， ． 如果 P曰的斜率是 ．i}，
。
结论显然也是一样
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