顶点三角形性质面面观.pdf

2010年第2期 河北理科教学研究 问题讨论 顶点三角形性质面面观 云南省文山县一中 杨金梅 663000 云南省广南县一中 玉邴图 663300 定义 椭圆(或双曲线)上的一点和长轴(或 klk2 e 一1． 实轴)两珉 组成的三角形叫做顶点三角形． 如图2和图3，如果知道 PA或PB的斜 2 2 率，如何求 PA或PB的长度呢? 本文统一约定：A，B是椭 圆 + ：1 口一 O 不妨设 A为(一n，0)，故可得 PA 的方 2 2 ． (0bo)或双 曲线 一 ：l(口0，b 程为Y=k( +口)，即 = 一口(1)，将(1) 0)的长轴或实轴两顶点，P是椭圆或双 曲线 代人椭圆 + =1(口b0)，得 (口．j}+ 上异于A，B外的任意一点． 口。 6 如图1，若 AB是圆0的直径，P是圆D 6)y一2abky=O(2)，由弦长公式得 上异于A，日外的任一点，则 kea·ken=一1． 厂——T 那么，对于椭圆和双曲 ．y l PA √1+索yl—y2l= 线结论又是如何呢? 如图2和图3，设 √(1+1)[()，l+y2)一4y1)，2](3)，将方程 P( ，Y)，而 A(一口， “ 一 (2)的两根之和与积代人 (3)，得 IPAI= 0)，B (0，0)，所 以 2ab2v／--~-+1 — ． 将(1)代入双曲线享一2=1 = · ： 图 1 (n0，bO)，得(b一a2k)Y一2abky=0 _， (1)，由椭圆方 (4)，将方程(4)两根之和与积代人(3)，得 IPAI：2ab2~／ =k2+1 程得 y2：b2(2 一 J， ． 如果 P曰的斜率是 ．i}， 。 结论显然也是一样