代数系统_2014版.ppt

例： 已知H1,?和H2,? 是群G,? 的子群，求证 H1∩H2,? 是H1,?、H2,?和G,?的子群。 证明：用方法4 因为H1,?和H2,? 是群G,? 的子群 所以幺元e∈H1∩H2 ，即 H1∩H2≠Φ 任取a,b∈H1∩H2 (目标:往证a ? b-1∈H1∩H2) 则 a,b∈H1 且a,b∈H2 因为H1,?和H2,? 是群G,? 的子群 所以 b-1∈H1 ， b-1∈H2 ， 于是 a?b-1∈H1 ，a?b-1∈H2 ，即有 a?b-1∈H1∩H2 因 H1∩H2 ?H1，H1∩H2 ?H2 ，H1∩H2 ?G， 所以H1∩H2,? 是H1,?、H2,?和G,?的子群。 四. 子群的陪集 看下面的例子 例： N6={0,1,2,3,4,5}， 群N6,+6的运算表如图： H1={0} H2={0,3} H3={0,2,4} 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 +6 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 0 3 0 ３ 0 3 3 0 +6 0 2 4 0 0 2 4 2 2 4 0 4 4 0 2 +6 从H1,+6, H2,+6 , H3, +6的运算表看出它们是N6,+6的子群。它们的阶分别是1，2，3阶，为6的因子。 ［定义］设H,?是群G,?的子群，a∈G，定义集合: aH={a?h|h∈H} 　　　　　　 Ha={h?a|h∈H} 则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集。 例：H3, +6是N6, +6的子群。 H3={0,2,4}， 求H3的各个左陪集。 0H3 = {0+60, 0+62, 0+64}={0,2,4} 1H3 ={1+60, 1+62, 1+64}={1,3,5} 2H3 ={2+60, 2+62, 2+64}={2,4,0} 3H3 ={3+60, 3+62, 3+64}={3,5,1} 4H3 ={4+60, 4+62, 4+64}={4,0,2} 5H3 ={5+60, 5+62, 5+64}={5,1,3} 可以看出： 0H3=2H3=4H3 ={0,2,4} 1H3=3H3=5H3 ={1,3,5} 任何两个左陪集，要 么相等，要么不相交。 陪集性质 ［定理6-7.4 ］H,?是群G,?的子群,任何a,b∈G,有 ⑴ aH=bH 或者 aH∩bH=Φ ⑵ Ha=Hb 或者 Ha∩Hb=Φ 证明：⑴等价于:如果aH∩bH≠Φ则aH=bH 先证 aH?bH: 设aH∩bH≠Φ，任取a?h∈aH (h∈H) 因为aH∩bH≠Φ，至少有x∈aH∩bH, 于是 x∈aH,x∈bH ∴ ? hi,hj∈H,使得x=a?hi ,x=b?hj 所以a?hi =b?hj 又hi-1∈H(群中每个元素都可逆),所以有 (a?hi )?hi-1 =(b?hj)?hi-1 a?(hi?hi-1 )=b?(hj?hi-1) a=b?(hj?hi-1) 令hj?hi-1 = hk∈H ∴ a=b?hk 于是 a?h=(b?hk)?h=b?(hk?h)∈bH (因hk?h∈H) ∴ a?h∈bH ∴ aH?bH 。同理可证 bH?aH 最后得aH=bH。 类似可证(2)。 aH ? bH bH ? aH 2)定理6-7.5 H,?是群G,?的子群，任何a,b∈G，有 ⑴ aH=bH 当且仅当 b∈aH ⑵ Ha=Hb 当且仅当 b∈Ha 证明：a) 充分性 设 b∈aH 因e∈H, b=b?e∈bH ∴ b∈aH∩bH ∴ aH∩bH≠Φ 由性质1)得aH=bH 。 b)必要性 已知 aH=bH ，∵ b=b?e∈bH ∴ b∈aH 。 类似可证(2). 3)定理6-7.6 H,?是群G,?的子群，对任何a∈G，a必属于且仅属于一个陪集。 证明略 4)定理6-7.7 设G,?是群， H,?是群G,?的子群，任何a,b∈G，则 ⑴ bH中任何两个元素都不相同。 ⑵ a?bH