保留做辅助线--构造全等三角形---综合难题002.ppt

例6. 已知：如图，BD、CE分别是△ABC中AC、AB边上的高，且BD＝CE，试说明：AB＝AC。 分析：要说明AB＝AC，可说明AB、AC所在三角形全等。 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？试说明理由。 分析：观察图形发现它们所在的三角形全等，故考虑通过全等来说明。 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，所以∠APC＋∠CPD＝∠BPD＋∠CPD， 即∠APD＝∠BPC，所以△APD≌△CPB。（SAS)，所以AD＝BC 误点剖析　实际上，△PBC 可看作是△PDA绕着P点按顺 时针方向旋转60°得到， 由对应点连线段相等， 就有AD＝BC。 说明：此题图中△APC和△BPD不在同一直线上，结论仍然成立，这是一个基本图形，许多题目都是在它基础上派生出来的。 例4.如图，已知， 在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上截取BM＝AC，在CF延长线上取CN＝AB， 试问线段AM、AN有怎样特 殊的关系？并说明理由。 分析：直观地看数量上AM＝AN， 位置上AM⊥AN，无论说明线段相等还是垂直，往往都要通过全等解决。 解：由BE、CF是高可知∠AFC＝∠AEB＝90°，在△ABE和△ACF中，∠BAC是公共角，根据三角形内角和等于180°，可得∠1＝∠2，再由BM＝AC，AB＝CN，又可得△ABM≌△NCA，所以AM＝AN，∠N＝∠3，而∠N＋∠4＝90°，所以∠3＋∠4＝90°，即∠NAM＝90°，所以AN⊥AM。 例7.如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN，其中正确的结论是____________（注：将你认为正确的结论都填上）。 分析由已知条件易得△ABE≌△ACF，进而可得前3个结论。 解：正确的结论是①②③ 例8.已知：如图① ，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线　经过点C，AD⊥　，BE⊥　，垂足分别为D、E。 （1）试说明△ACD≌△CBE； （2）如图②直线　经过△ACB内部，结论 是否仍然成立？ 分析（1）由△ABC是等腰直角三角形可得AC＝BC，∠ACB＝90°，结合AD⊥　， BE⊥　可得∠1＝∠3，于是进一步可得△ACD≌△CBE，（2）图变而条件不变，观察△ACD和△CBE仍具备条件判断全等。 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。 分析：欲证明EC＝ED，在原图中只有说明到∠ECD＝∠EDC才可得EC＝ED，而利用原图这是不可能得到的，因此需适当作辅助线构造全等三角形，延长BD到F，使DF＝BC＝a，连结EF，则有BF＝BE＝2a＋b，而∠B＝60°，可得△EBF是等边 三角形，再由△EBC≌△EFD 得到EC＝ED。 例10.如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值。 分析：由图形猜想到∠B∶∠C＝2∶1，设法利用条件“AB＋BD＝AC”来解决，故可采取截长法或补短法。 * * 赵林学校编制 2012.7.29 如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 复习： 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为△ABC的中线， 必有结论： A B C D E 1 2 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。 △ABD≌△ECD， ∠1=∠E， ∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 方法一： A B C D E 必有结论： 在AB上截取AE=AC，连结DE。 △ADE≌△ADC。 ED=CD， 3 * 2 1 ∠AED=∠C， ∠ADE=∠ADC。 方法二： A B C D F 延长AC到F，使AF=AB，连结DF。 必有结论： △ABD≌△AFD。 BD=FD， 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ∠B=∠F， ∠ADB=∠ADF。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： A B C D M N 方法三： 作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N